WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. (пошукова робота) - Реферат

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. (пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота на тему:
Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах.?
План
" Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин
" Обчислення площі плоскої фігури
" Обчислення площі в декартових координатах
" Площа криволінійного сектора в полярних координатах
ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
1. Площа плоскої фігури
1.1. Обчислення площі в декартових координатах
В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю кривою причому на відрізку може бути як додатною, так і від'ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою
(10.1)
Нехай у прямокутній системі координат фігура (рис.10.1) обмежена кривими
Виділимо у фігурі смужку шириною . Її довжина дорівнюватиме . Тоді площа смужки .
Звідси Отже,
(10.2)
Рис.10.1 Рис.10.2
Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі
(10.3)
Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію на відрізку а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою
Зробивши заміну в цьому інтегралі і враховуючи, що одержимо
(10.4)
1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатах
Нехай криві, що обмежують фігуру, задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури якщо: ,
У фігурі виділимо сектор з центральним кутом Вважатимемо, що дуги, які обмежують сектор , є дугами кіл радіусів . Очевидно, що площа сектора між дугами i дорівнює Інтегруючи,одержимо
(10.5)
Приклад 1.
Знайти площу фігури, обмеженої гіперболою , віссю і прямою, яка з'єднує точку , що лежить на гіперболі, з початком координат.
Р о з в ' я з о к. З рівняння гіперболи маємо
Щоб знайти площу заштрихованої на рис.10.3 фігури, досить знайти площу фігури , а потім від площі трикутника відняти площу фігури .
Отже, .
Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо
Оскільки
то .
Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді
Рис.10.3 Рис.10.4
,
де - функція, обернена відносно функції .
Пропонується переконатися в цьому самостійно.
Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою
.
Р о з в ' я з о к. Перейшовши в цьому рівнянні до прямокутної системи координат, легко встановити, що відповідна крива є центрально-симетричною відносно системи координат. Крім того, із заданого рівняння видно, що , тобто крива повністю знаходиться всередині кола радіуса з центром в початку координат, що дотикається вона до кола лише в точках , проходить
через початок координат при , дотикаючись до прямих . Отже графік заданої функції має вигляд чотирипелюсткової троянди (рис. 10.4). Очевидно, що для обчислення площі досить знайти площу заштрихованої фігури і потім її помножити на 8. Отже,
Loading...

 
 

Цікаве