WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Невласні інтеграли - Реферат

Невласні інтеграли - Реферат

Невласні інтеграли
Поняття та різновиди невласних інтегралів
Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інтеграл існує, якщо виконані умови:
1) відрізок інтегрування [а, b] скінчений;
2) підінтегральна функція f(x) неперервна або обмежена і має скінченну кількість точок розриву. Якщо хоч би одна із умов не виконується, то визначений інтеграл називають невласним.
Якщо не виконується перша умова, тобто b = ? або а = ? або а = -? та b = ?, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами.
Якщо не виконується лише друга умова, то підінтегральна функція f(x) має точки розриву другого роду на відрізку інтегрування [а, b]. В цьому випадку називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування.
1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду).
Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +?) і інтегрована на будь-якому відрізку [а, b], де - ? < a < b 1 і розбіжним при ? 1.
У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення деякі ознаки збіжності.
Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +?) функції f(x) і g(x) неперервні і задовольняють умову 0 ? f(x) ? g(x), то із збіжності інтеграла
(56)
випливає збіжність інтеграла
(57)
а із розбіжності інтеграла (57) випливав розбіжність інтеграла (56).
Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7.13); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа меншої області є також скінченне число; якщо площа меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина.
Приклад
Дослідити на збіжність інтеграли:
а) ;
а) Оскільки :
і інтеграл збігається, то за теоремою і заданий інтеграл також збігається.
б) Цей інтеграл розбігається, бо :
і інтеграл розбігається.
Теорема 2. Якщо існує границя
, ,
то інтеграли (56) і (57) або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються.
Ця ознака іноді виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерівності 0 f(x) ? g(х).
Приклад
Дослідити на збіжність інтеграл
Оскільки інтеграл збігається і
то заданий інтеграл також збігається.
В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід'ємних функцій. У випадку, коли підінтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.
Теорема 3. Якщо інтеграл збігається, то збігається й інтеграл .
Приклад
Дослідити на збіжність інтеграл .
Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оскільки
то заданий інтеграл збігається.
Слід зауважити, що із збіжності інтеграла не випливає, взагалі кажучи, збіжність інтеграла . Ця обставина виправдовує такі означення.
Якщо разом з інтегралом збігається й інтеграл , то інтеграл називають абсолютно збіжним, а функцію f(x) - абсолютно інтегровною на проміжку [а; +?).
Якщо інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, то інтеграл називають умовно (або неабсолютно) збіжним.
Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається .
Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збіжності [II].
Приклад
Дослідити на збіжність інтеграл
Оскільки
то за теоремою 3 інтеграл збігається.
Отже, збігається, причому абсолютно, і заданий інтеграл, а функція f(x) = на проміжку [0; +?) є абсолютно інтегровною.
2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).
Нехай функція f(x) визначена на проміжку [а, b). Точку х = b назвемо особливою точкою функції f(х), якщо f(x) ? ? при х ? b - 0 (рис. 7.14). Нехай функція f(x) інтегровна на відрізку [а; b - ] при довільному > 0 такому, що b - > ; тоді, якщо існує скінченна границя
(58)
її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:
(59)
Отже, за означенням
У цьому випадку кажуть, що інтеграл (59) існує або збігається. Якщо ж границя (58) нескінченна або не існує, то інтеграл (59) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.
Аналогічно якщо х = - особлива точка (рис. 7.15), то невласний інтеграл визначається так:
Якщо f(x) необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки с0 (а; b), то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають (рис. 7.16).
Нарешті, якщо а та b - особливі точки, то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають
де с - довільна точка інтервалу (а; b).
Приклад
Обчислити невласні інтеграли:
а) ; б)
а)
Отже, інтеграл а) збіжний.
б) Якщо 1, то
Якщо = 1, то
Таким чином, інтеграл б) збігається при 0 < 0 збігається. Маємо
Перший інтеграл в правій частині цієї рівності збігається, бо
Другий інтеграл також збігається. Справді, якщо n - довільне натуральне число таке, що n > - 1, то
,
в чому можна пересвідчитись, обчислюючи останній інтеграл частинами і враховуючи, що
Отже, інтеграл (92) при > 0 збігається і визначає деяку функцію, яку і називають гамма-функцією Г( ).
Обчислимо значення Г( ) при а N. Якщо = 1, то
(93)
Нехай n + 1 інтегруючи частинами, дістанемо
звідки
Г(n +1) = nГ(n) (94)
З рівностей (93) і (94) випливає, що n N:
Г(n +1) = n!
Таким чином, гамма-функція для цілих значень n N виражається через n!. Проте вона визначена і для нецілих додатних значень аргументу, тобто продовжує факторіальну функцію з дискретних значень аргументу на неперервні. Гамма-функція не є елементарною функцією. Графік цієї функції зображено на рис. 7.35. Властивості гамма-функції досить добре вивчені і значення її протабульовані в багатьох довідниках, наприклад в [19].
Наводимо без доведення формулу Стірлінга для гамма-функції:
де > 0 і 0 < ( ) < 1. Якщо в цій рівності покласти = n і помножити її на n, дістанемо
(95)
Бета- і гамма-функції пов'язані між собою співвідношенням
(96)
Приклади
1. Знайти Г
Згідно з формулою (96), при = = маємо
отже, Г = .
2. Обчислити інтеграл Ейлера - Пуассона
Враховуючи результат попереднього прикладу, дістанемо
3. Виразити інтеграл через бета-функцію наближено при = 3, = .
Маємо
Зокрема, при = 3 і = згідно з формулою (96) дістанемо
Завдання для самоконтролю
1. Які інтеграли називаються інтегралами, залежними від параметра?
2. Сформулювати теореми про неперервність, диференціювання таінтегрування Інтеграла, залежного від параметра.
1. 3. Дати означення гамма-функції Г( ).
3. Довести, що Г(n +1) = n!, n N.
4. Дати означення бета-функції В( , ). Як пов'язані між собою бета- та гамма-функції?
5. Довести, що
Вказівка. Скористатись підстановкою sin x = .
Loading...

 
 

Цікаве