WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні правила диференціювання. Таблиця похідних(пошукова робота) - Реферат

Основні правила диференціювання. Таблиця похідних(пошукова робота) - Реферат

похідної від степеневої функції ми маємо таке правило: похідна від степеневої функції дорівнює показнику, помноженому на цю функцію з показником, на одиницю меншим.
3. Похідна від показникової та логарифмічної функцій
1. Нехай маємо показникову функцію .
Знайдемо в довільній точці приріст :
Тоді
Перейдемо тут до границі при . Маємо
Таким чином, похідна від показникової функції існує в довільній точці і дорівнює
(6.31)
Зокрема,
(6.32)
2. Нехай маємо логарифмічну функцію , де . Згідно з означенням логарифмічної функції маємо таку рівність:
Оскільки , то
Отже,
(6.33)
Зокрема,
(6.34)
4. Похідні від тригонометричних функцій
1. . Знайдемо приріст функції в довільній точці :
Знайдемо відношення
Перейдемо в цій рівності до границі при :
Отже похідна від функції існує в довільній точці і дорівнює
(6.35)
2. . Аналогічно доводиться, що від функції в довільній точці існує похідна, яка дорівнює
(6.36)
3. Зобразимо у вигляді
Скориставшись формулою (6.20), маємо
Отже,
(6.37)
4. . Аналогічно можна довести, що
(6.38)
5. Похідні обернених тригонометричних функцій
1. , де , .
Тоді згідно з означенням функції маємо таку рівність:
причому похідна при не дорівнює нулю. Тому для знаходження похідної від можна скористатися формулою (6.24):
Оскільки , то набуває тільки додатних значень. Тоді можна записати:
Отже, остаточно
(6.39)
2. Аналогічно можна вивести формули похідних
(6.40)
(6.41) (6.42)
6. Похідна від складної функції
Функція однієї змінної.
Теорема. Нехай маємо складну функцію і нехай: 1) зовнішня функція в точці має похідну (по ) ; 2) внутрішня функція в точці має похідну (по ) . Тоді складна функція в точці також має похідну (по ), яка дорівнює добутку похідних від зовнішньої і внутрішньої функції, тобто
або
(6.43)
Правило знаходження похідної від складної функції: щоб знайти похідну від складної функції, треба знайти похідну від зовнішньої функції за зовнішнім аргументом і результат помножити на похідну від внутрішньої функції за внутрішнім аргументом.
Зауваження. Ця теорема може бути узагальнена і на той випадок, коли аргумент внутрішньої функції є, в свою чергу, функцією від іншого аргументу. Так, якщо маємо функції і кожна з них у відповідних точках має похідні, то функція має похідну по , яка дорівнює
Приклади.
1. Знайти похідну від функції .
Р о з в ' я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію і задовольняють умовам теореми для . Отже,
2. Знайти похідну від функції .
Р о з в ' я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію , .
Тому
Похідна від степенево-показникової функції.
Означення. Функція , де і - функції , називається степенево-показниковою функцією.
Степенево-показникову функцію не можна диференціювати ні за формулою похідної степеневої функції, ні за формулою показникової функції, оскільки вона не є ні тою ні другою. Одержимо окрему формулу.
Нехай дана функція , де . Прологарифмувавши обидві частини рівності, маємо
Диференціюємо обидві частини цієї рівності по як складні функції:
Звідси
або
(6.44)
Правило диференціювання степенево-показникової функції: щоб продиференціювати степенево-показникову функцію, достатньо знайти від неї похідну як від показникової функції (тимчасово вважаємо основу сталою), похідну як від степеневої функції (вважаємо показник сталим) та результати додати.
Приклади.
1. Знайти похідну від функції .
Р о з в ' я з о к.
2. Знайти похідну від функції .
Р о з в ' я з о к.
Зауваження. Застосований в цьому параграфі прийом для знаходження похідних, коли спочатку знаходять похідну логарифму даної функції, широко використовується при диференціюванні функцій. Цей прийом часто спрощує обчислення.
Приклад.
Знайти похідну від функції
Р о з в ' я з о к. Логарифмуючи, знаходимо
Диференціюємо обидві частини цієї рівності:
Звідси
Похідна від складної функції кількох змінних.
Із означення безпосередньо випливає правило знаходження частинних похідних функції : щоб знайти частинну похідну від функції за одним із її аргументів, потрібно обчислити похідну від функції за цим аргументом, вважаючи інші аргументи постійними .
Приклади.
1. Знайти частинні похідні від функції
Р о з в ' я з о к.
2. Знайти частинні похідні від функції
Р о з в ' я з о к.
Нехай задана функція , аргументи якої і є функціями незалежної змінної :
Нехай має по і неперервні частинні похідні і і існують і . Тоді можна довести існування похідної складної функції і одержати формулу для її обчислення:
(6.45)
Приклад.
Знайти похідну від функції , якщо , .
Р о з в ' я з о к.
Якщо, зокрема, , , тобто, якщо один із аргументів функції є незалежна змінна, а другий - його функція, то формула (6.45) (покласти в ній ) дає вираз повної похідної від функції по :
(6.46)
Нехай є складною функцією не однієї, а кількох незалежних змінних і . Нехай має неперервні частинні похідні по і по , а і мають частинні похідні по . За таких умов формула диференціювання складної функції записується так:
(6.47)
....
Приклад.
Знайти частинні похідні від функції , якщо , .
Р о з в ' я з о к.
Loading...

 
 

Цікаве