WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні правила диференціювання. Таблиця похідних(пошукова робота) - Реферат

Основні правила диференціювання. Таблиця похідних(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота
на тему:
Основні правила диференціювання. Таблиця похідних.
План
" Основні правила диференціювання.
" Похідні від елементарних функцій.
" Похідна від степеневої функції.
" Похідна від степеневої та логарифмічної функції.
" Похідні від тригонометричних функцій.
" Похідні від обернених тригонометричних функцій.
" Похідна від складної функції.
1. Правила диференціювання
Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження похідних від функцій.
10. Похідна від аргументу . Покладемо , тоді . Тому .
Отже, якщо , то
. (6.14)
1. Похідна від сталої функції .
Значення цієї функції у точках і рівні між собою при будь-якому . Тому приріст , а отже й .
Перейшовши до границі, в останній рівності при маємо
.
Границя відношення при існує і дорівнює нулю. Тому існує й похідна від цієї функції в довільній точці , яка теж дорівнює нулю, тобто
. (6.15) 3. Похідна від суми.
Теорема. Якщо функції в точці мають похідні, то функція також в цій точці має похідну і ця похідна дорівнює
. (6.16)
Д о в е д е н н я. Надамо деякого . Тоді функції матимуть прирости , функція - приріст . Знайдемо відношення
.
Перейдемо в цій рівності до границі при . Внаслідок того, що в точці згідно з умовою теореми мають похідну, то
, .
Тому
Отже, в цій точці існує похідна від функції і вона дорівнює .
Теорему доведено.
Наслідок. Похідна від суми скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, якщо похідні даних функцій існують, тобто
(6.17)
4. Похідна від добутку.
Теорема. Якщо функції в точці мають похідні, то в цій точці функція також має похідну:
. (6.18)
Д о в е д е н н я. Надамо деякого приросту . Тоді функції матимуть прирости , а функція приріст
Знайдемо відношення
Перейдемо в цій рівності до границі . За умови теореми
а
Отже,
Теорему доведено.
Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто, якщо , то
(6.19)
5. Похідна від частки.
Теорема. Якщо функції в точці мають похідні і , то функція також у точці має похідну і похідна дорівнює
(6.20)
Д о в е д е н н я. Надамо приросту . Тоді функції матимуть відповідно прирости , а функція - приріст
Знайдемо відношення
За умовою теореми
а , тому
Теорему доведено.
Наслідок 1. Якщо знаменник дробу - стала величина, то
(6.21)
Наслідок 2. Якщо чисельник дробу стала величина, то
(6.22)
6. Похідна від оберненої функції.
Теорема. Нехай функція задовольняє всім умовам теореми про існування оберненої функції і в точці має похідну . Тоді обернена до неї функція у точці має також похідну: .
Д о в е д е н н я. Надамо приросту . Тоді функція дістане приріст , причому, внаслідок монотонності функції , матимемо , якщо . Тоді відношення можна записати так: Перейдемо в цій рівності до границі при . Внаслідок неперервності оберненої функції , тобто
Отже, від функції в точці існує похідна:
(6.23)
Теорему доведено.
Якщо функція має похідну в довільній точці і
, то формула (6.23) справджується для цих точок
або, що те саме,
(6.24)
У формулі (6.24) похідні знаходяться за різними змінними: - похідна від до , а - похідна від до . Тому формулу (6.24) записують
(6.25)
Нижній індекс показує, за якою змінною знаходиться похідна.
Для зручності поміняємо у формулі (6.25) місцями і . Остаточно матимемо таку формулу для похідної від оберненої функції:
(6.26)
2. Похідні від елементарних функцій
Похідна від степеневої функції
Випадок натурального показника. Нехай , де - натуральне число. Тоді функція визначена на всій числовій осі. Отже, візьмемо довільну точку і надамо їй приросту . Тоді функція матиме приріст :
Розкриємо за формулою бінома Ньютона:
Знайдемо відношення
Перейшовши в цій рівності до границі при , дістаємо
Отже похідна від степеневої функції з натуральним показником існує і дорівнює
Випадок довільного показника. Нехай є довільне дійсне число. Тоді область існування функції залежить від .
Нехай - область існування функції . Візьмемо довільне , але (випадок розглянемо окремо). Тоді приріст дорівнює
Знайдемо відношення
або
(6.28)
де .
Перейдемо до границі у рівності (6.28) при . Зауважимо, що коли , то й . Тому
(6.29)
Обчислимо окремо
Для цього введемо таке позначення:
причому , якщо . Тоді звідки . Тоді
Проте внаслідок неперервності логарифмічної функції маємо
Отже,
Повертаючись до співвідношення (6.29), маємо
тобто якщо і , то
(6.30)
Розглянемо випадок, коли . Якщо , то точка не входить в область існування функції . Тому розглядатимемо і . Знайдемо приріст функції в точці :
тоді
Звідси випливає, що у випадку границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля, існує і дорівнює нулю:
Якщо , то границя не існує, тобто у випадку функція в точці похідної немає.
Проте, якщо формально у формулі (6.30) покласти , то дістанемо той самий результат.
Отже, для
Loading...

 
 

Цікаве