WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца(пошукова робота) - Реферат

Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота на тему:
Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона- Лейбніца.
План
" Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі
" Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
1. Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі
Теорема . Рівність
(9.6)
що є аналогічною формулі (9.6), завжди правильна, якщо виконуються такі умови:
1) функція неперервна на інтервалі ;
2) функція визначена і неперервна в деякому інтервалі і не виходить за межі проміжку , коли змінюється в ;
3)
4) існує в неперервна похідна
Д о в е д е н н я. Якщо - первісна від функції , то ми можемо записати такі рівності:
Справедливість другої рівності перевіряється диференціюванням обох частин по
Із першої рівності отримаємо
Із другої рівності будемо мати
Праві частини останніх виразів рівні, отже, будуть рівні і їх ліві частини.
Тут варто зазначити, що в разі інтегрування підстановками повертатися до старої змінної не треба. Слід тільки пам'ятати, що в разі кожної заміни змінної потрібно обчислювати нові границі інтегрування.
Приклад . Обчислити
Р о з в ' я з о к. Зробимо заміну тоді
Якщо то якщо то
Тоді
2. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
Нехай функції і диференційовані функції від . Тоді Інтегруючи обидві частини цієї рівності в межах від до одержимо
Оскільки то , тому будемо мати
або
(9.7)
Основні випадки, в яких ця формула повинна застосовуватися, висвітлені в п.8.3.4. Формула (9.7) аналогічна формулі інтегрування частинами в невизначеному інтегралі (8.2) .
Приклад 1. Обчислити
Р о з в ' я з о к. Інтегруємо частинами:
Приклад 2. Обчислити
Р о з в ' я з о к.
Матимемо таке рекурентне співвідношення:
При одержимо
при
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
при
Для непарних також можна отримати значення інтеграла, здійснивши інтегрування частинами два рази, рекурентне співвідношення, подібне до одержаного за парних , а це дасть можливість обчислити інтеграл за будь-яких непарних . Пропонується читачеві все це проробити самостійно.
Loading...

 
 

Цікаве