WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Модальні групи (структурні властивості) - Реферат

Модальні групи (структурні властивості) - Реферат


Реферат на тему:
Модальні групи
(структурні властивості)
Різноманітні дослідження багатьох математиків [3-4] присвячені вивченню зв'язків між будовою групи G і будовою решітки її підгруп LG. Встановлено, що будова цієї решітки суттєво впливає на будову самої групи G. Привертають особливу увагу групи G для яких решітка підгруп LG належить фіксованому многовиду решіток . Клас всіх таких груп позначимо ( ). Зрозуміло, що клас ( ) замкнений відносно підгруп і гомоморфних образів. В подальшому клас груп ( ) називається групоїдом. Так як перетин довільного сімейства групоїдів є групоїдом, то сукупність Г всіх групоїдів відносно включення утворює повну решітку.
Відображення : ( ) є гомоморфізмом решітки всіх многовидів решіток L на решітку групоїдів Г. Як доведено в [1], гомоморфізм не є ізоморфізмом.
Фундаментальні результати для класа модулярних груп (М), класа дистрибутивних груп (D) та ін. викладено в монографії [5].
Многовид модальних решіток Un введений Йонсоном [6]. Згідно з означенням, група G (Un) тоді і тільки тоді, коли решітка її підгруп задовольняє включення:
T (Ai + Aj) ,
де і, j = 1,…, n; причому і j. Якщо l < m, то очевидно (Ul) (Um). Зрозуміло також, що (U2) = (D).
Опис класів (U3) і (U4) дано в роботах [1-2]. В даній роботі дається характеристика абелевих груп і неабелевих спеціальних груп групоїда (U5).
1. Опис групоїда (U3).
Група G є модальною тоді і тільки тоді, коли вона має таку будову:
G - локально циклічна група;
G {Q, B}, де Q - група кватерніонів, а В - нециклічна група 4-ого порядку;
G = A B*, де А {Q, B} і В* - локально циклічна група, кожний елемент якої має непарний порядок.
Із цього результату, зокрема, випливає включення (U3) (M), тоді як многовиди решіток U3 і М неможливо порівняти. Кожна 3-модальна група задовольняє тотожність [x, y2] = 1.
2. Опис групоїда (U4).
Істотним в описі 4-модальних груп є наступний крітерій, який має місце для довільного параметра n.
Група G - модальна тоді і тільки тоді, коли для довільного елемента t і t , порядки k1,…, kn елемента t, відносно підгруп Аі,…, An, взаємно прості в сукупності, причому хоча б два з них відмінні від нуля.
Абелева група G є модальною (4-модальною) тоді і тільки тоді, коли вона належить до одного з наступних типів:
G - локально циклічна група;
G {В, С}, де В - нециклічна група 4-ого порядку або прямий добуток циклічної групи 4-го порядку на групу 2-го порядку, а С - нециклічна група 9-го порядку;
G = В С K, де K - локально циклічна періодична група, причому (B, K) = (C, K) = 1.
Всяка 4-модальна група G задовольняє тотожність [x2, y2] = 1.
Опис 4-модальних неабелевих груп, які задовольняють тотожність [x, y2] =1, дається наступним твердженням.
Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні:
G - модальна і задовольняє тотожність [x, y2] = 1;
G = Q C K, де K - локально циклічнагрупа, (Q, K) = (C, K) = 1 і C або K можуть бути і одиничними групами.
Групу S3(m) виду:
,
будемо називати узагальненою симетричною групою. Маємо наступний опис неабелевих модальних груп, параметру n = 4. Групи із класу (U4) мають наступну будову:
G = Q C B, де B - локально циклічна періодична група, (C, B) = (Q, B) = 1 і C або B можуть бути і одиничними групами;
G = A S, де А - абелева періодична модальна група, а S - узагальнена симетрична група, причому (A, S) = 1.
3. Будова деяких груп із класу (U5).
Довільна група G, із вказаного класу, задовольняє тотожність [x6, y6] = 1. Крім того, для довільних елементів x, y G (U5) має місце рівність х у6 х -1 = у6l, де число l залежить від елементів х і у. Для абелевих модальних груп справедлива наступна теорема.
Теорема 1. Абелева група G є модальною тоді і тільки тоді, коли
G - локально циклічна група;
G {C, D}, де С - нециклічна група 9-го порядку, D {B2 B2, B4 B2, B8 B2, B4 B4, E(2, 8)} і Bl - циклічна група l-го порядку;
G = C D T, де Т - локально циклічна періодична група, причому (С, Т) = (D, T) = 1.
Якщо в періодичній модальній групі G = елемент c = [a, b] 1 міститься в центрі групи G, то G містить: або групу кватерніонів Q, або групу діедра D8, або групу Т3, де Т3 має вигляд:
.
Опис спеціальних модальних груп дається наступною теоремою.
Теорема 2. Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні:
G - модальна і задовольняє тотожність [x, y2] = 1;
G = A B, де А - абелева, модальна і періодична, а В {Q, Q*, D8, T3}, причому (А, В) = 1.
Тут Q* = Q {1, u}, де u2 = 1; Е(2, 8) - елементарна абелева група 8-го порядку.
Література
1. Мельник И.И. Строение модальных групп. // Деп. ВИНИТИ.-1981.-№ 3270-С.1-17.
2. Мельник И.И. Некомутативные модальные групы. // Деп. УкрНИИНТИ.-1983.-№ 9679 К-С.1-17.
3. Черников С.Н. Групы с заданными свойствами системы подгруп. М:Наука.-1980.-384с.
4. Аршинов М.Н., Садовский Л.Е. Некоторые теоретико-структурные свойства групп и полугрупп. // УМН.-1972.-Вып.6, 168, ХХІІ.-С.134-180.
5. Судзуки М. Строение группы и строение структуры ее подгрупп. М:Изд.ин.лит.-1960.-158с.
6. Jonsson B. Equational classes of lattices. Math. Scand.-1968.-22.-P.187-196.
7. Ore O. Structures and group theory.1. Duke Math. J.-1937.-3.-P.149-173.
8. Jwasawa K. Uber die end lichen Gruppen und die Verbande ihrer Untergruppen. J. Univ. Tokyo.-1941.-P.141-199.
Loading...

 
 

Цікаве