WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Поняття функції - Реферат

Поняття функції - Реферат

6.3).
При графічному способі задання функції у = f (х) відповідність між змінними х і у задається графіком - множиною точок (х; у) площини, прямокутні координати яких задовольняють рівність у = f(x). Залежно від того, яку задано функцію, графік її може складатись з однієї суцільної лінії, кількох ліній, дискретної множини точок площини тощо.
Графічним способом задання функції широко користуються при дослідженнях, пов'язаних з використанням таких самописних приладів, як барограф (для запису змін атмосферного тиску), осцилограф (для запису змін електричного струму або напруги), електрокардіограф (для запису електричних явищ, пов'язаних з діяльністю серця), термограф (для запису змін температури повітря) тощо. Криві (їх називають відповідно барограма, осцилограма, електрокардіограма, термограма), що їх виписують прилади, задають цілком певну функ-цію, властивості якої характеризують перебіг того чи іншого процесу.
Графіки функційможна спостерігати на дисплеях комп'ютерів. У математиці графіками широко користуються для геометричного зображення функцій, навіть тоді, коли ці функції задані аналітичне. Якщо функція у = f (х) задана на деякій множині X формулою, то завжди можна вважати, що їй відповідає певний графік, який визначає цю функцію геометричне. А якщо функція задана довільним графіком, то чи можна її задати деякою формулою? Це дуже складне запитання. Щоб відповісти на нього, потрібно з'ясувати, який зміст має поняття формули. Якщо функція у = f (х) задана формулою, то ми поки що вважаємо, що функція у утворюється за допомогою скінченного числа таких операцій над х, як додавання, віднімання, множення, ділення, добування кореня, логарифмування, взяття sin, агсsіn тощо. Математичний аналіз дає змогу значно розширити поняття формули. Зокрема, формулою вважається також і нескінченний ряд, членами якого є ті чи інші функції, тобто допускається нескінченне число опе-рацій над цими функціями. За допомогою таких формул більшість кривих, що зустрічаються на практиці, можна задати аналітичне (гл. 9)..
Приклади
1. Графіком функції у = 2 n - 3 n N є нескінченна множина ізольованих точок, які лежать на прямій у = 2х - 3.
2. Графіком функції у = |х| є сукупність бісектрис першого і другого координатних кутів.
3. Графіком функції
що задана різними аналітичними виразами на різних частинах області зміни х, є сукупність параболи і прямої. Стрілка на графіку означає, що точка М (2, 2) не належить прямій.
4. Функція
(читається "сигнум ікс") визначена на всій числовій осі і набуває трьох значень:
- 1; 0; 1; Х = (- ; + ), Y = {-1, 0, 1).
5. Функція у = визначена при х 0 і набуває двох значень:
-1; 1; Х = (- ; 0) U (0; + ); Y = {-1, 1).
Зауважимо, що в прямокутній системі координат Оху функцію задає лише така крива 12, яку кожна пряма, що проходить через точку х X паралельно осі Оу, перетинає лише в одній точці. Область визначення цієї функції - відрізок [а; b], який є проекцією кривої на вісь Ох. Щоб знайти значення функції у0 = f(х0), що відповідає значенню аргументу х0, потрібно через точку х0 [а; b] провести перпендикуляр до осі Ох. Довжина цього перпендикуляра від осі Ох до точки М0 (х0; у0) перетину з кривою, взята з належним знаком, і є значенням функції в точці х0, тобто у0 = f(х0). Крива 11 не задає функцію.
Табличний спосіб задання функції у = f(x) полягає в тому, що відповідність між змінними х та у задається у вигляді таблиці.
Табличний спосіб досить часто використовується при проведенні експериментів, коли задають певну сукупність х1, х2, ...,хn значень аргументу і дослідним шляхом знаходять відповідні значення функції: y1, у2, ..., уп.
Якщо функція задана аналітичне, то для неї можна побудувати таблицю, тобто табулювати функцію. Табулюються, як правило, функ-ції, які виражаються складною формулою, але часто зустрічаються в практиці. Такими є, наприклад, таблиці логарифмів, тригонометричні
таблиці тощо. І тут, як і при графічному заданні функції, виникає обернене запитання: чи завжди можна від табличного задання функції перейти до аналітичного, тобто чи можна функцію, задану таблицею, задати формулою? Щоб відповісти на нього, зауважимо, що таблиця дає не всі значення функції. Проміжні її значення, які не входять у задану таблицю, можна знайти наближено за допомогою так званої операції інтерполювання функції. Тому в загальному випадку знайти точний аналітичний вираз функції за її таблицею неможливо. Проте можна побудувати формулу, причому не одну, яка для значень xі, що є в таблиці, буде давати відповідні значення уі, функції. Такі формули називаються інтерполяційними.
Останнім часом табличний спосіб широко застосовується у зв'язку з використанням електронно-обчислювальних машин (ЕОМ), тому що вихідну інформацію ЕОМ видає у вигляді числових масивів (таблиць). У зв'язну з цим все більше поширюється і стає одним з основних четвертий спосіб задання функції - за допомогою комп'ютерних програм. Як правило, цим способом задаються такі функції, які є розв'язками складних математичних задач. Жодним з попередніх способів подібні функції задати не можна.
Крім розглянутих існують й інші способи задання функції. Так, функцію можна задати словесним описом залежності між змінними.
Приклади
1. Функцію у задано умовою кожному дійсному числу х ставиться у відповідність найбільше ціле число, яке не перевищує х. Ця функція, визначена на множині дійсних чисел, називається цілою частиною х і позначається у = [А] або у = Е (х) (Е - початкова літера французького слова entier - цілий). Наприклад, [0, 2] = 0, [-2, 5] = -3, [5] = 5 і т. д.
2. Кожному раціональному числу ставиться у відповідність число 1, а ірраціональному - число 0. Ця функція теж визначена па множині R. Вона позначається через D (х) і називається функцією Діріхле:
Графік функції D(х) практично зобразити не можна, бо він складається з точок прямої у = 1, що мають абсцисами раціональні числа, і з точок прямої у = 0, в яких абсциси - ірраціональні числа.
Loading...

 
 

Цікаве