WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Поняття множини. Змінні та постійні величини. Функція, область визначення. Лінії та поверхні рівня. Способи задання(канонічного) вигляду(пошукова робо - Реферат

Поняття множини. Змінні та постійні величини. Функція, область визначення. Лінії та поверхні рівня. Способи задання(канонічного) вигляду(пошукова робо - Реферат

одне й те саме значення. Такі величини називають сталими. Якщо значеннявеличини змінюється, то таку величину називають змінною.
Означення. Змінна величина називається функцією незалежних змінних якщо кожній сукупності значень змінних із деякої області відповідає одне певне значення величини із множини .
Область називається областю визначення, або областю існування функції , а множина всіх числових значень, прийнятих в області визначення, називається областю значень, або областю зміни функції .
У загальному випадку для позначення функціональної залежності вживається символ або
Нехай Сукупність чисел будемо тлумачити як координати точки тобто
При зміні значень точка буде переміщуватися в області існування причому кожному її положенню відповідає певне числове значення функції Ось чому функцію ще називають функцією точки і позначають таким самим символом,
В дальшому будемо детально вивчати лише випадки і Цього достатньо, щоб розглянути, що є спільного між функціями і та що нового виникає при переході від функції однієї змінної до функцій багатьох змінних.
Функцію можна задавати різними способами, і ніяких обмежень на форму не накладається. Ми лише назвемо ці способи: аналітичний, словесний, графічний, табличний і програмний.
Зауваження 1. В означенні поняття функції кожному значенню відповідає одне значення У цьому випадку функцію називають однозначною (на відміну від багатозначної функції, для якої відповідає не одна, а кілька, навіть нескінченна множина значень ). Надалі, якщо не буде оговорено окремо, під функцією розумітимемо однозначну функцію.
Зауваження 2. Областю в - мірному просторі називається множина точок цього простору, яка має такі дві властивості: кожна точка що належить є внутрішньою точкою (тобто входить в разом із деяким своїм околом); будь-які дві точки і що належить можна з'єднати неперервною лінією, що належить
Назвемо точку граничною для області якщо в будь-якому околі цієї точки містяться точки, які належать і не належать
Сукупність всіх граничних точок називається границею області Якщо додати до області її границю, одержимо замкнену область
Назвемо діаметром область /відкритої чи замкненої/ точно верхню границю взаємних віддалей будь-яких пар точок, що належать області.
Приклади .
1. Множина точок координати яких незалежно одна від другої задовольняють нерівності
називається ( - мірним) "прямокутним паралелепіпедом".
Зокрема,
1) при така множина точок є відрізок ;
2) при така множина точок
є прямокутник ;
3) при така множина точок
є паралелепіпед ;
Якщо у наведених співвідношеннях виключити рівність
то цим означається відкритий "прямокутний паралелепіпед"
Околом точки називається будь-який відкритий "паралелепіпед"
з центром у точці .
2. Розглянемо множину точок , означену нерівністю
(або ),
якщо є стала "точка", а - стале додатне число. Така множина утворює замкнену (або відкриту) - вимірну сферу радіуса із центром у точці . Зокрема,
1) при множина точок є відрізок;
2) при множина точок є круг;
3) при множина точок є сфера.
Відкриту сферу будь-якого радіуса , із центром у точці також розглядаємо як окіл цієї точки.
Геометричне тлумачення функції.
1. Графік функції . Нехай в деякому проміжку задана функція . Розглянемо пару відповідних значень і , де , а ; образом цієї пари на площині є точка . Коли змінюється, точка описує деяку криву, яка є геометричним образом функції. За цих умов рівняння називають рівнянням кривої.
Означення. Графіком функції називається множина точок координатної площини, абсцисами яких є допустимі значення аргументу, а ординатами - відповідні їм значення функції.
2. Геометричне зображення функції . Нехай дана функція, означена у деякій області площини (рис.5.1). Тоді кожній парі відповідає за формулою деяке значення . Інакше, кожній точці ставиться у відповідність точка , що є кінцем перпендикуляра до площини .
Якщо точка займе всі можливі положення в області , то пов'язана з нею точка у загальному випадку опише в просторі деяку поверхню . Отже, геометричним зображенням (графіком) функції двох змінних є, в загальному випадку, поверхня в просторі
Геометричне зображення функції трьох і більшого числа змінних не має простого геометричного змісту. В окремих випадках можна отримати наочне геометричне представлення про характер зміни функції, розглядаючи її лінії рівня (або поверхні рівня), тобто лінії (або поверхні), де дана функція зберігає стале значення.
Означення. Лінією рівня функції
називається множина всіх точок площини , для яких дана функція має одне і те саме значення (і зокрема). Отже, рівняння лінії рівня є рівняння , де - довільна стала.
Рис.5.1 Рис.5.2
Приклад. На рис.5.2 зображені лінії рівня функції . Надаючи невід'ємні значення ( не може бути від'ємним), одержимо відповідно лінії рівня функції: - точка - коло радіуса з центром
- коло радіуса з центром тощо.
Означення. Поверхнею рівня функції називається множина всіх точок простору для яких ця функція має одне і те саме значення (ізоповерхні).
Лінії і поверхні рівня постійно зустрічаються на практиці. Наприклад, з'єднавши на карті поверхні Землі точки з однаковою середньою температурою або з однаковим середньодобовим тиском, матимемо відповідно ізотерми та ізобари.
5.2.2. Елементарні функції та їх класифікація
Показникова функція (рис.5.3).
Функція означена в інтервалі і неперервна в кожній точці цього інтервалу. При функція зростає; при - спадає. Областю зміни показникової функції є інтервал .
Логарифмічна функція (рис.5.4).
Функція означена в інтервалі і неперервна в кожній точці цього інтервалу. При функція зростає; при - спадає.
Область зміни логарифмічної функції складає множина всіх дійсних чисел.
Степенева функція (рис.5.5, 5.6).
Якщо відносно відомо лише, що це деяке дійсне число, то можна говорити про значення тільки для . Тому в загальному випадку областю означення степеневої функції вважають інтервал . Якщо то означена і в точці , де приймає значення . При зростанні степенева функція зростає, якщо і спадає, якщо . Значення у степеневої функції заповнюють інтервал . Якщо число - ціле або дробове з непарним знаменником, то степенева функція при означена для всіх , а при - для всіх , крім .
Тригонометричні функції (рис.5.7, 5.8, 5.9, 5.10).
Функції і мають областю визначення всі
значення змінної . Множиною значень кожної з цих функцій є
відрізок
Loading...

 
 

Цікаве