WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Множини і відношення - Курсова робота

Множини і відношення - Курсова робота

коефіцієнтами, називається трансцендентним.
Наслідок 1.6.3. Множина всіх трансцендентних чисел континуальна.
Справедливість наслідків 1.6.2 і 1.6.3 випливає з континуальності множин R і C всіх дійсних і комплексних чисел відповідно, зліченності множин усіх раціональних і всіх алгебраїчних чисел та теореми 1.6.
Із доведених теорем випливає також рівнопотужність інтервалів (0,1) ~ [0,1) ~ (0,1] ~ [0,1].
Сформульована нижче теорема встановлює певний зв'язок між зліченними і континуальними множинами і у своєму доведенні знову використовує діагональний метод Кантора.
Теорема 1.7. Множина (A) всіх підмножин зліченної множини A має потужність континуум.
Доведення. Оскільки всі зліченні множини рівнопотужні множині N натуральних чисел, то достатньо довести континуальність булеана (N) множини N. Маючи взаємно однозначну відповідність між множиною N і деякою множиною A, неважко побудувати взаємно однозначну відповідність між їхніми булеанами (N) і (A).
Проведемо доведення теореми методом від супротивного. Припустімо, що множина (N) зліченна й існує нумерація всіх її елементів, тобто (N)={M1,M2,...,Mk,...}, де Mk N, k=1,2,.... Поставимо у відповідність кожній множині Mk послідовність tk з нулів і одиниць m1(k), m2(k),...,mi(k),... за таким законом
1, якщо i Mk,
mi(k) =
0, якщо i Mk.
Очевидно, ця відповідність є взаємно однозначною.
Розташуємо всі елементи множини (N) і відповідні їм послідовності у порядку нумерації:
M1 - m1(1), m2(1),...,mk(1),...
M2 - m1(2), m2(2),...,mk(2),...
............................................
Mk - m1(k), m2(k),...,mk(k),...
............................................
Використовуючи діагональний метод Кантора, побудуємо нову послідовність L з нулів і одиниць l1,l2,..., lk,... таку, що lk mk(k), тобто
1, якщо mk(k)=0,
lk =
0, якщо mk(k)=1, k = 1,2,3,....
Послідовності L відповідає деяка підмножина M N, а саме M={ n | ln=1, n=1,2,...}. Очевидно, підмножина M не входить у вказаний перелік M1,M2,...,Mk,..., оскільки послідовність L відрізняється від кожної з послідовностей tk принаймні в одній k-й позиції. Отже, і множина M відрізняється від кожної з множин Mk, k=1,2,.... Ця суперечність означає, що не існує переліку для елементів множини (N). Таким чином, множина (N) незліченна.
Крім того, кожній послідовності tk можна поставити у відповідність нескінченний двійковий дріб 0,m1(k)m2(k)...mk(k)..., який зображує деяке дійсне число з інтервалу (0,1) у двійковій системі числення. I навпаки, будь-яке число з інтервалу (0,1) можна однозначно записати у вигляді нескінченного двійкового дробу. Виняток становлять числа зі зліченної множини раціональних чисел, які записуються за допомогою скінченних двійкових дробів і тому можуть мати дві різні форми зображення у вигляді нескінченних двійкових дробів - з періодом 0 і періодом 1.
Кожному з таких чисел відповідають дві різні послідовності t' і t'', а отже, і два різні елементи множини (N): один - для зображення з періодом 0, другий - з періодом 1. Позначимо через T множину тих підмножин множини N, які при побудованій вище відповідності зіставляються нескінченним двійковим дробам із періодом, T (N). Тоді існує взаємно однозначна відповідність між множиною всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1) і множиною (N) T. Однак, оскільки множина T зліченна, то за теоремою 1.6 маємо (N) ~ (N) T. Таким чином, множина (N), а значить і множина (A) для будь-якої зліченної множини A, мають потужність континуум.
10. Кардинальні числа
Нехай A - деяка множина і S = { B | B ~ A} - сукупність усіх множин, рівнопотужних множині A. Очевидно, що всі множини з S рівнопотужні. Кардинальним числом (позначається |A|, або Card A) будемо називати деякий об'єкт для позначення потужності будь-якої множини із сукупності S.
Зокрема, для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів будь-якої з множин сукупності S. Таким чином, можна вважати, що кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.
Природно виникає питання про порівняння кардинальних чисел нескінченних множин.
Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:
1. Iснує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не менша від потужності множини B і записують |A| |B|.
3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' B і B~A' A.
За теоремою Кантора-Бернштейна, доведення якої наведено нижче, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.
Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору (див.розд.1.13), можна довести неможливість четвертого випадку.
Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин Aі B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A| |B| або |B| |A|.
Якщо |A| |B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то писатимемо |A| |A|.
Доведення. Оскільки існує тривіальна взаємно однозначна відповідність f між множиною A і підмножиною множини (A): f = { (a,{a}) | a A, {a} (A)}, то достатньо довести, що множини A і (A) нерівнопотужні.
Доведення проведемо від супротивного. Припустимо, що існує взаємно однозначна відповідність g між множинами A і (A): g = { (b,B) | b A і B (A)}. У кожній парі відповідності перша координата b - це елемент множини A, а друга координата B - деяка підмножина множини A. Тому для кожної пари (b,B) g виконується одне з двох співвідношень: або b B, або b B. Побудуємо нову множину K = { b | b A і b B для (b,B) g }.
З того, що (A) випливає, що K .
Оскільки K є підмножиною множини A (K (A)), то при взаємно однозначній відповідності g підмножина K відповідає деякому елементові k A, тобто існує пара (k,K) g. Тоді відносно елемента k A і підмножини K A можливі дві ситуації: або k K, або k K.
Нехай k K, тоді з умови (k,K) g і правила побудови множини K випливає, що k K.
З іншого боку, якщо припустити, що k K, то з (k,K) g і правила побудови множини K повинно виконуватись k K.
Одержана суперечність доводить неможливість встановлення взаємно однозначної відповідності між A і (A). Таким чином, |A| < | (A)|.
Наслідок 1.9.1. Не існує множини, яка має найбільшу потужність, тобто не існує найбільшого кардинального числа.
Справді, розглянувши множини N, (N), ( (N)),..., одержимо нескінченно зростаючу послідовність відповідних кардинальних чисел 0 , 1 =2 0, 2 =2 1, ...
На закінчення зупинимось ще на одній цікавій класичній проблемі теорії множин, сформульованій ще у 1884 році Г.Кантором:
гіпотеза
Loading...

 
 

Цікаве