WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Множини і відношення - Курсова робота

Множини і відношення - Курсова робота

чисел зліченна.
Справді, множину Q можна подати як об'єднання таких зліченних множин:
A1 = {0,1,-1,2,-2,3,-3,...} - усі цілі числа (або дроби виду , n Z),
A2 = { } - усі дроби виду , n Z.
A3 = { } - усі дроби виду , n Z,
.....................................................
Ak = { } - усі дроби виду , n Z,
......................................................
Наслідок 1.4.3. Декартів добуток A B зліченних множин A і B є зліченною множиною.
Справедливість цього твердження випливає з того, що множину всіх пар (a,b) A B, де A={a1,a2,...,an,...} і B={b1,b2,...,bn,...} можна подати як об'єднання такої зліченної сукупності зліченних можин
D1 = {(a1, b1 ), (a1, b2 ),..., (a1, bn ),... },
D2 = {(a2, b1 ), (a2, b2 ),..., (a2, bn ),... },
...........................................
Dk = {(ak, b1 ), (ak, b2 ),..., (ak, bn ),... },
...........................................
Зокрема, множина всіх точок координатної площини з раціональними координатами зліченна.
Наслідок 1.4.4. Декартів добуток Pn=A1 A2 ... An зліченних множин A1, A2,..., An - є зліченною множиною для довільного n.
Доведення проведемо методом математичної індукції.
Для n=1 P1=A1 і справедливість твердження випливає з умови зліченності множини A1. Нехай Pk-1=A1 A2 ... Ak-1 - зліченна множина. Тоді зліченність множини Pk = Pk-1 Ak випливає з наслідку 1.4.3.
Наслідок 1.4.5. Множина P усіх многочленів p(x) = a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an з раціональними коефіцієнтами ai Q, i=0,1,...,n, n=0,1,2,..., є зліченною множиною.
Множину P можна подати у вигляді об'єднання зліченної сукупності множин Pn, де Pn - це множина многочленів з раціональними коефіцієнтами, степінь яких не перевищує n, n=0,1,2,.... Разом із тим, будь-якому многочлену p(x)=a0xn+a1xn-1+ ...+an-1x+an з множини Pn можна поставити у відповідність кортеж (a0,a1,a2,...,an), який складається з раціональних чисел ai - коефіцієнтів цього многочлена. Очевидно, ця відповідність є взаємно однозначною. Отже, Pn ~ Qn+1. Тоді з наслідків 1.4.2 і 1.4.4 випливає, що множина Pn - зліченна, а тому зліченною є і множина P.
Назвемо число алгебраїчним, якщо воно є коренем деякого многочлена з раціональними коефіцієнтами. Відомо, що кожен такий многочлен має скінченну кількість коренів (не більшу від степені многочлена). Таким чином, множину всіх алгебраїчних чисел можна подати у вигляді об'єднання зліченної сукупності скінченних множин. Отже, має місце
Наслідок 1.4.6. Множина всіх алгебраїчних чисел зліченна.
Наслідок 1.4.7. Множина A всіх слів у заданому скінченному алфавіті A зліченна.
Справедливість твердження випливає з того, що
A* = {e} A A2 A3 ...,
тобто множина A* є зліченним об'єднанням скінченних множин {e} і An, де An - множина всіх слів довжини n в алфавіті A.
9. Незліченні множини
Наступні питання, які логічно випливають із висловленого вище припущення про рівнопотужність усіх нескіченних множин: чи всі нескінченні множини зліченні, або чи існують нескінченні множини, які не будуть зліченними? Факт існування множин, які не є зліченними (незліченних множин), вперше був встановлений Г.Кантором за допомогою запропонованого ним діагонального методу, який набув згодом фундаментального значення в різних розділах математики. Зокрема, цей метод лежить в основі доведення наступної важливої теореми, яка належить Г.Кантору.
Теорема 1.5. Множина всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1) незліченна.
Доведення. Відомо, що кожному дійсному числу з інтервалу (0,1) можна поставити у відповідність нескінченний десятковий дріб 0,a1a2a3.... Для ірраціональних чисел цей нескінченний десятковий дріб є неперіодичним. Для кожного раціонального числа, яке зображується скінченним десятковим дробом, з двох можливих варіантів запису його у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу (з періодом 0 або періодом 9) зафіксуємо період 9. Наприклад, число 0,123 (або 0,123000...) будемо записувати у вигляді 0,122999..., а число 0,7 - у вигляді 0,699.... Очевидно, що запропонована відповідність буде взаємно однозначною.
Проведемо доведення теореми методом від супротивного. Припустімо, що сформульоване твердження хибне і множина всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1) зліченна. Тобто існує нумерація цих чисел x1,x2,...,xn,.... Перепишемо у вигляді нескіченних десяткових дробів усі числа з інтервалу (0,1) в порядку їхньої нумерації
x1 = 0, a11 a12 a13 ... a1n...,
x2 = 0, a21 a22 a23 ... a2n...,
x3 = 0, a31 a32 a33 ... a3n...,
...............................
xn = 0, an1 an2 an3 ... ann...,
...............................
Рухаючись по діагоналі (вказаної стрілками), утворимо новий нескінченний десятковий дріб 0,b1b2...bn... такий, що b1 a11, b2 a22,...,bn ann,.... Додатково для того, щоб уникнути ситуації з можливістю зображення одного й того ж раціонального числа у двох формах, будемо вибирати значення цифр bi так, щоб bi 0 і bi 9, i=1,2,.... Утворений дріб є записом деякого дійсного числа y з інтервалу (0,1), однак він не належить розглядуваній зліченній множині. Справді, побудований дріб відрізняється від кожного з дробів нашої нумерації x1,x2,...,xn,... принаймні однією цифрою. Точніше, y xn тому, що дроби y і xn відрізняються принаймні n-ю цифрою після коми (n=1,2,...). З одержаної суперечності випливає, що не існує переліку для множини всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1). Отже, припущення щодо її зліченності хибне і розглядувана множина - незліченна. Теорема доведена.
Будь-яка множина, рівнопотужна множині всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1), називається континуальною, або множиною потужності континуум.
Знаведених вище прикладів 1.12 (3,4) і зауваження про рівнопотужність усіх інтервалів і відрізків дійсної прямої, а також твердження про рівнопотужність будь-якого відрізка і всієї дійсної прямої випливає, що всі ці множини точок будуть континуальними.
Теорема 1.6. Якщо M - незліченна множина, а A - скінченна або зліченна підмножина множини M, то множини MA і M рівнопотужні, тобто
M A ~ M.
Доведення. Очевидно, що множина M A незліченна. Якби множина M'=M A була зліченною, то за теоремою 1.4 множина M = M' A була б також зліченною, що суперечило б умові теореми. Тоді за теоремою 1.2 множина M' містить зліченну підмножину B (B M A). Позначимо C=(MA)B, тоді маємо M A=B C і M=(A B) C. Множина A B зліченна. Тоді з рівнопотужностей B~(A B) і C ~ C, а також того, що C B= і C (A B)= , випливає співвідношення B C~(A B) C, тобто M A ~ M.
Сформулюємо декілька наслідків, які випливають із доведених теорем.
Наслідок 1.6.1. Якщо M - нескінченна множина, а множина A - скінченна або зліченна, то M A ~ M.
Будемо вважати, що M A= . Якщо M A , то у доведенні можна використати скінченну або зліченну множину A' = A M таку, що M A=M A' і M A' = .
Якщо M зліченна множина, то M A також зліченна множина (теорема 1.4), отже M A ~ M.
Якщо M незліченна множина, то M A також незліченна множина. Тоді за теоремою 1. 6 (M A) A ~ M A, тобто M ~ M A, оскільки (M A) A = M.
Наслідок 1.6.2. Множина всіх ірраціональних чисел континуальна.
Число, яке не є коренем жодного многочлена з раціональними

 
 

Цікаве

Загрузка...