WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Множини і відношення - Курсова робота

Множини і відношення - Курсова робота

Ai, i=1,2,...,n. Декартів добуток позначається через A1 A2 ... An.
Набір (a1,a2,...,an), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a1,a2,...,an, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a1,a2,...,an) і (b1,b2,...,bn) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто ai=bi, i=1,2,...,n. Отже, кортежі (a,b,c) і (a,c,b) вважаються різними, в той час як множини {a,b,c} і {a,c,b} - рівні між собою.
Декартів добуток множини A на себе n разів, тобто множину A A ... A називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають An.
Прийнято вважати, що A0 = (n=0) і A1 = A (n=1).
Приклад 1.9. 1. Якщо A = {a,b} і B = {b,c,d}, то
A B = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d)},
A2 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}.
2. Якщо R - множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R2 - це множина пар (a,b), де a,b R, або множина точок координатної площини.
Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.
3. Скінченна множина A, елементами якої є символи (літери, цифри, спеціальні знаки тощо), називається алфавітом. Елементи декартового степеня A називаються словами довжини n в алфавіті A. Множина всіх слів в алфавіті A - це множина
A* = {e} A A2 A3 ... = {e} Ai,
де e - порожнє слово (слово довжини 0), тобто слово, яке не містить жодного символу алфавіту A.
Замість запису слів з An у вигляді кортежів (a1,a2,...,an) частіше використовують традиційну форму запису слів у вигляді послідовності символів a1a2...an, aj A, j=1,2,...,n. Наприклад, 010111, 011, 0010, 100, 010 - слова в алфавіті B = {0,1}, а 67-35, -981, (450+12)/27, 349*2+17 - це слова в алфавіті C = {0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9,+,-,*,/,(,)}.
Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (A B) C і A (B C), а також множини A B і B A, взагалі кажучи, нерівні між собою.
Зв'язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями встановлюється такими тотожностями:
(A B) C = (A C) (B C),
(A B) C = (A C) (B C),
A (B C) =(A B) (A C), (1.8)
A (B C) =(A B) (A C).
Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією) кортежу w=(a1,a2,...,an) називається i-а координата ai кортежу w, позначається Pri(w) = ai.
Проекцією кортежу w=(a1,a2,...,an) на осі з номерами i1,i2,...,ik називається кортеж (ai1,ai2,...,aik), позначається Рri1,i2,...,ik(w) = (ai1,ai2,...,aik).
Нехай V - множина кортежів однакової довжини. Проекцією множини V на i-у вісь (позначається PriV ) називається множина проекцій на i-у вісь усіх кортежів множини V:
PriV = { Pri(v) | v V }.
Аналогічно означається проекція множини V на декілька осей:
Pri1,i2,...,ikV = { Pri1,i2,...,ik(v) | v V }.
Приклад 1.10. Pri1,i2,...,ik( A1 A1 ... An ) = Ai1 Ai2 ... Aik.
Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr1V={a}, Pr2V={b,c}, Pr2,3V={(b,c),(c,d), (b,d)}.
6. Відповідності, функції і відображення
Відповідністю між множинами A і B називається будь-яка підмножина C A B.
Якщо (a,b) C, то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при відповідності C.
Поняття віповідності можна проілюструвати за допомогою так званого графіка відповідності. Нехай A={1,2,3,4,5} і B={a,b,c,d}, а C = {(1,a),(1,d),(2,с), (2,d),(3,b),(5,а),(5,b)} - відповідність між A і B. Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через a,b,c,d - горизонтальні прямі на координатній площині (рис.1.2). Тоді виділені вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і утворюють графік відповідності C.
Рис.1.2.
Відповідність можна задавати, визначаючи співвідношення, яким мають задовольняти її обидві координати. Наприклад, якщо розглянемо класичну координатну площину R2=R R, то маємо такі відповідності C1={(x,y) | x2 + y2 = 1}, C2 = {(x,y) | y = x2 }, C3 = {(x,y)| |x| 1, |y| 1}. Графіком відповідності C1 є коло радіуса 1 з центром у початку координат, графіком C2 - квадратична парабола, а графіком C3 - всі точки квадрата з вершинами (-1,-1),(-1,1),(1,1) і (1,-1).
Припустимо, що C A B деяка відповідність.
Множина Pr1C називається областю визначення, а множина Pr2C - областю значень відповідності C (інші позначення - С і С відповідно).
Якщо Pr1C=A, то відповідність C називається всюди або повністю визначеною. В противному разі відповідність називається частковою.
Образом елемента a Pr1C при відповідності C називається множина всіх елементів b Pr2C, які відповідають елементу a.
Прообразом елемента b Pr2C при відповідності C називається множина всіх тих елементів a Pr1C, яким відповідає елемент b.
Якщо A Pr1C, то образом множини A при відповідності C називається об'єднання образів усіх елементів з A. Аналогічно означається прообраз деякої множини B Pr2C.
Оскільки відповідності є множинами, то до довільних відповідностей можуть бути застосовані всі відомі теоретико-множинні операції: об'єднання, перетин, різниця тощо.
Додатково для відповідностей введемо дві специфічні операції.
Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B, називається відповідність D між множинами B і A така, що
D ={(b,a) | (a,b) C}. Відповідність, обернену до відповідності C, позначають C-1.
Якщо задано відповідності C A B і D B F, то композицією відповідностей C і D (позначається C D ) називається відповідність H між множинами A і F така, що
H = { (a,b)| існує елемент c B такий, що (a,c) C і (c,b) D }.
Розглянемо окремі важливі випадки відповідностей.
Відповідність f A B називається функціональною відповідністю або функцією з A в B, якщо кожному елементові a Pr1f відповідає тільки один елемент з Pr2f, тобто образом кожного елемента a Pr1f є єдиний елемент з Pr2f. Якщо f - функція з A в B, то кажуть, що функція має тип A B і позначають f:A B або A B. Зокрема, всі функції, які вивчаються в елементарній математиці, є окремими випадками функціональних відповідностей з R2= R R або функціями типу R R.
Всюди визначена функціональна відповідність f A B називається відображенням Aв B і записується як і функція f:A B або A B. Відображення називають також всюди або повністю визначеними функціями.
Відображення типу A A називають перетвореннями множини A.
Через BA позначається множина всiх вiдображень з A в B.
Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин та ін. Зокрема, для функції f елементи множини Pr1f називають аргументами функції, образ елемента a Pr1f позначають через f(a) і називають значенням функції f на a. Прообраз елемента b Pr2f позначають через f-1(b). Аналогічно позначаються образ і прообраз множини.
Нехай f:A B функція з множини A в множину B, а g:B C - функція з множини B в
Loading...

 
 

Цікаве