WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі - Реферат

Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі - Реферат

мінімальна. У будь-якому випадку умові відповідають всі точки смуги площини, обмеженої даними прямими.
Порівнюючи геометричні місця точок, що відповідають певній умові, на площині і в просторі, бачимо, що між ними є схожість, але є й багато суттєвих відмінностей.
Геометричні місця точок у просторі можуть мати одну, дві чи більше властивостей. Якщо геометричне місце точок визначається однією умовою, що виражається рівністю, то воно є деяка поверхня, а коли ця умова виражається нерівністю, то маємо геометричне тіло.
Якщо геометричне місце визначається двома (трьома) рівностями, то воно складається з точок ліній, які є спільними для двох (трьох) поверхонь.
Іноді геометричне місце може містити в собі всі точки простору. Таким є, наприклад, геометричне місце прямих, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок А та В. Будь-яка пряма, паралельна АВ, або та, що проходить через середину відрізка АВ, рівновіддалена від точок А та В. Множина таких прямих заповнює весь простір.
Ми розглядатимемо геометричні місця точок, які визначаються рівностями, тобто вони будуть певними поверхнями.
Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі в аналітичному вигляді
Виберемо прямокутну декартову систему координат на площині (0, i, j) і в просторі (0, i, j, k) і розглянемо порівняльну характеристику геометричних місць точок на площині і в просторі в аналітичному вигляді.
18. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють будь-яке рівняння 1-го степеня відносно х, у, є пряма. 18. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють будь-яке рівняння 1-го степеня відносно х, у, z, є площина.
Наведемо з аналітичної геометрії приклади аналогічних рівнянь прямої в (0, i, j) і площини в (0, i, j, k).
1). Рівняння прямої, заданої точкою М0 і вектором нормалі n
a(x x0) + b(y - y0) = 0,
де M0(x0; y0) l, n(a; b) l.
2). Загальне рівняння прямої
aх + bу +c = 0,
де n(a; b) - вектор нормалі прямої.
3). Рівняння прямої "у відрізках на осях": + = 1, де А(а;0), В(0;b) точки перетину прямої з осями координат.
4). Нормальне рівняння прямої
x cos? + y sin? p = 0,
де р - відстань від початку координат до прямої,
n0(cos?, sіn?) - одиничний вектор нормалі прямої.
19. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння + =1, є еліпс.
20. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння =1, є гіпербола.
21. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння 1, є гіпербола.
22. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння у2 = 2рх, є парабола.
1). Рівняння площини, заданої точкою М0 і вектором нормалі n
a(x x0) + b(y - y0) + c (z - z0) = 0,
де M0(x0; y0; z0) , n(a; b, c) .
2). Загальне рівняння площини
aх + bу +сz + d = 0,
де n(a;b;c) - вектор нормалі площини.
3). Рівняння площини "у відрізках на осях": + + = 1, де А(а;0;0), В(0;b;0), С(0;0;с) точки перетину площини з осями координат.
4). Нормальне рівняння площини
x cos + y cos? + z cos? p = 0,
де р - відстань від початку координат до площини,
n0(cos?, cos?, cos?) - одиничний вектор нормалі площини.
19. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння + + =1, є еліпсоїд.
20. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння + 1, є двопорожнинний гіперболоїд.
21. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння + =1, є однопорожнинний гіперболоїд.
22. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння + = 2ру, є еліптичний параболоїд.
Цікавим є порівняння геометричних фігур на площині і в просторі, рівняння яких у системах координат (0, i, j), (0, i, j, k) автентичні.
На площині У просторі
1 2
23. Ах + Ву + С = 0. Рівняння прямої загального положення, паралельної вектору a( В; А).
24. + = 1. Рівняння еліпса.
25. х2 + у2 = r2. Рівняння кола радіуса r з центром у точці О(0; 0).
26. х2 + у2 = 0.
Рівняння задовольняють координати точки О(0; 0).
27. = 1. Рівняння гіперболи.
28. х2 у2 = 0, або:
(х - у)(х + у) = 0, або:
Рівняння двох прямих, що перетинаються в точці О(0;0). Бісектриси координатних кутів І і IІІ, ІІ і ІV.
29. у2 = 2рх. Рівняння параболи.
30. у2 - a2 = 0, або
(у - a)(у + a) = 0, або:
Рівняння двох прямих, паралельних координатній осі x.
23. Ах + Ву + С = 0. Рівняння площини, паралельної осі z.
24. + = 1. Рівняння еліптичного циліндра з твірною, паралельною до осі z, напрямною якого є еліпс:
25. х2 + у2 = r2. Рівняння колового циліндра з твірною, паралельною осі z, напрямною якого є коло:
26. х2 + у2 = 0. Рівняння осі z.
27. = 1. Рівняння гіперболічного циліндра з твірною, паралельною осі z, напрямною якого є гіпербола:
28. х2 у2 = 0, або:
Рівняння двох площин, що перетинаються по осі z. Бісекторні площини двогранних кутів, утворених координатними площинами (xz) і (yz).
29. у2 = 2рх. Рівняння параболічного циліндра з твірною, паралельною осі z, напрямною якого є парабола:
30. у2 - a2 = 0, або:
Рівняння двох площин, паралельних координатній площині (xz).
Порівняльна характеристика задач на знаходження геометричних
місць на площині і в просторі
На площині У просторі
1 2
1. Знайти геометричне місце середин відрізків, що сполучають дану точкуА з точками даної
прямої l.
Таким ГМТ є пряма, паралельна даній і віддалена від неї на відстані (A, l).
2. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до даної прямої в даній точці.
Таким ГМТ є пряма, перпендикулярна до даної прямої в даній точці.
3. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до даного кола в даній точці.
Таким ГМТ є пряма, яка проходить через центр даного кола і дану точку.
4. Знайти геометричне місце центрів кіл радіуса R, що дотикаються до даної прямої.
Таким ГМТ є дві прямі, паралельні даній і віддалені від неї на відстань R.
5. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до двох даних паралельних прямих.
Таким ГМТ є вісь симетрії даних прямих.
6. Знайти геометричне місце центрів кіл, які проходять через дані точки А і В.
Таким ГМТ є серединний перпендикуляр відрізка АВ.
7. Знайти геометричне місце вершин трикутників, рівновеликих даному трикутнику АВС, які мають з ним спільну основу АВ.
Таким ГМТ є дві прямі, паралельні основі АВ і віддалені від неї на відстань hc, що дорівнює довжині висоти трикутника АВС.
8. Знайти геометричне місце центрів кіл радіуса R, що проходять через точку О.
Таким ГМТ є коло з центром О радіуса R.
9. Дано дві різні точки А і В. Знайти геометричне місце основ перпендикулярів, опущених з точки А на прямі, проведені через точку В.
Таким ГМТ є коло, діаметром якого є відрізок АВ.
10. Дано дві різні точки А і В. Знайти геометричне місце точок, кожна з яких симетрична з точкою А відносно деякої прямої, яка проходить через точку В.
Таким ГМТ є коло з центром у точці В радіуса АВ.
11. Знайти геометричне місце середин хорд кола з центром О, проведених через точку А, розташовану всередині кола.
Таким ГМТ є коло, діаметром якого є відрізок ОА.
12. Знайти геометричне
Loading...

 
 

Цікаве