WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі - Реферат

Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі - Реферат

площини і (г.м.т.6). Площини ?, ? перетинаються з площинами ?, ?, і по чотирьом прямим k, l, m i n, які проходять через точку перетину трьох даних прямих a, b, c. Ці чотири прямі є геометричним місцем точок, рівновіддалених від прямих а, b, c,які перетинаються в одній точці і не лежать в одній площині.
б) Прямі a, b, c паралельні між собою і не лежать в одній площині.
Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох паралельних прямих, які не лежать в одній площині, є пряма m, паралельна до даних.
Ця пряма спільна для трьох площин, які будуються як г.м.т.6 для пар прямих: a, c; b, c; a, b. Зрозуміло, для одержання прямої m нема необхідності будувати три площини, достатньо побудувати дві з них.
Природньо розглянути у просторі геометричні місця точок, віддалених на відстань a від даної площини, рівновіддалених від двох, від трьох даних площин.
8. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної площини ? на відстань a, є дві площини ? і ?, паралельні до ? і віддалені від неї на відстань a.
Існують інші розташування прямих у просторі: дві прямі перетинаються, а третя мимобіжна до них; дві прямі паралельні, третя мимобіжна до них; всі три прямі попарно мимобіжні. В цих ипадках ГМТ, рівновіддалених від трьох прямих є перетином гіперболічних параболоїдів, утворених парами мимобіжних прямих.
9. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних площин ? і ?, є площина ?, якщо дані площини паралельні, або дві площини ?, ?, якщо дані площини перетинаються, причому:
- ? - площина, паралельна до площин ? та ? і ділить відстань між ними
навпіл.
- ?, ? - перпендикулярні між собою бісекторні площини двогранних кутів, утворених площинами ? та ?.
10. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох площин, є: пряма, або дві прямі, або чотири паралельні прямі, або чотири прямі, що перетинаються, або :
- одна пряма буде у випадку, коли три площини ?, ?, ? мають спільну пряму a. Шуканим геометричним місцем точок є пряма a;
- якщо дві площини ?, ? паралельні, а третя ? їх перетинає, то шукане геометричне місце точок, рівновіддалених від цих площин, є дві прямі a і b, паралельні до них, які утворюються у перетині бісекторних площин двогранних кутів, утворених парами площин: ; , і належать площині рівновіддаленій від площин і ;
- якщо площини ?, ?, ? попарно перетинаються по паралельним прямим, то геометричне місце точок рівновіддалених від цих площин, є чотири прямі a, b, c, d, паралельні до ліній їх перетину (мал. 7), які є перетином бісекторних площин двогранних кутів, утворених парами площин: ; ; , ;
- у випадку, коли площини ?, ?, ? перетинаються в одній точці, шуканим геометричним місцем будуть чотири прямі, що проходять через точку перетину даних площин і належать бісекторним площинам двогранних кутів, утворених попарно даними площинами;
- порожня множина буде у випадку, коли площини ?, ?, ? паралельні між собою.
Розглянемо порівняння кривих другого порядку і деяких поверхонь обертання як геометричних місць точок, що мають одну і ту ж властивість на площині і в просторі.
На площині У просторі
1 2
11. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під прямим кутом, є коло з діаметром АВ без точок А, В.
12. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під кутом , є два сегменти, що містять даний кут і спираються на даний відрізок АВ без точок А, В.
13. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума відстаней від двох даних точок F1 і F2 цієї ж площини є величина стала, більша відстані між F1 і F2, називається еліпсом.
14. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких абсолютна величина різниці відстаней від двох даних точок F1 і F2 цієї ж площини є величина стала, менша відстані між F1 і F2, називається гіперболою.
15. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної прямої d, яка не проходить через точку F, називається параболою.
16. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких різниця квадратів відстаней від двох даних точок А та В цієї ж площини є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є перпендикуляр до відрізка АВ в точці D, віддалений від середини О відрізка АВ = a на відстань .
17. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума квадратів відстаней від двох даних точок А та В цієї ж площини є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є коло з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) і
радіусом r = .
11. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під прямим кутом, є сфера з діаметром АВ без точок А, В.
12. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під кутом , є торова поверхня, одержана від обертання сегмента, що містить даний кут і спирається на даний відрізок АВ, навколо прямої АВ без точок А, В.
13. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких сума відстаней від двох даних точок F1 і F2 простору є величина стала, більша відстані між F1 і F2, називається еліпсоїдом обертання.
14. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких абсолютна величина різниці відстаней від двох даних точок F1 і F2 простору є величина стала, менша відстані між F1 і F2, називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання.
15. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної площини , яка не проходить через точку F, називається параболоїдом обертання.
16. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких різниця квадратів відстаней від двох даних точок А та В простору є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є площина, перпендикулярна до відрізка АВ в точці D, віддаленій від середини О відрізка АВ = a на відстань .
17. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких сума квадратів відстаней від двох даних точок А та В простору є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є сфера з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) і
радіусом r = .
Слід відмітити, що між формою геометричного місця точок на площині і в просторі у більшості випадків існує зв'язок, наведений у таблиці.
На площині У просторі
Точка
Пряма
Дві паралельні прямі
Коло Пряма
Площина
Циліндрична поверхня
Сфера
Нехай, наприклад, потрібно знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих, що містять сторони трикутника. На площині таких точок чотири (центри вписаного і зовні вписаних кіл).
Таблиця показує, що в просторі шукане геометричне місце точок є чотири прямі, причому ці прямі проходять через названі центри перпендикулярно до площини трикутника.
Зрозуміло, що встановивши форму геометричного місця точок на площині, за допомогою таблиці можна "прикинути", яку форму має це геометричне місце точок у просторі. Потім обгрунтувати результати і одночасно уточнити розташування шуканого геометричного місця точок відносно даних точок і ліній.
Але не слід думати, що зроблена на основі таблиці прикидка завжди вірна. Таблиця не встановлює взаємно однозначної відповідності між формою геометричного місця на площині і в просторі, бо такої відповідності, взагалі кажучи, не існує. Є такі геометричні місця точок, які не змінюють форму в залежності від того, розглядаємо ми їх на площині чи в просторі. Наприклад, геометричне місце точок, сума відстаней яких від двох даних паралельних прямих
Loading...

 
 

Цікаве