WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями. Пряма на площині. Площина(пошукова робота) - Реферат

Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями. Пряма на площині. Площина(пошукова робота) - Реферат

площин має вигляд
при умові де в дужках стоять ліві частини рівняння двох площин пучка.
Нехай ми маємо три площини, задані рівняннями
Щоб знайти їх спільні точки, треба розв'язати систему заданих трьох рівнянь, що описують ці площини. Якщо система має єдиний розв'язок, то площини мають спільну точку (перетинаються в одній точці).
Якщо розв'язки не існують, то спільних точок немає. У випадку безлічі спільних точок можливі два випадки: або всі три
площини перетинаються по спільній прямій (пучок трьох площин), або всі три площини співпадають. Другий випадок можливий лише тоді, коли всі три рівняння зводяться до одного (пропорційність всіх чотирьох коефіцієнтів).
3.4.2 . Кут між двома площинами
Умови паралельності і перпендикулярності двох площин
Розглянемо дві площини (рис.3.13). Очевидно, що величина двогранного кута між двома
площинами дорівнюватиме відповідному куту між їх нормальними
векторами і .
Тому кут . Кут між двома векторами і
визначається за формулою , тобто
(3.21)
Очевидно, що коли площини паралельні, то || , а якщо перпендикулярні, то . Отже, умови паралельності двох площин визначаються так:
, (3.22)
а перпендикулярності -
(3.23)
Рис.3.13
3.4.3. Віддаль від точки до площини
Якщо радіус-вектор точки площини , радіус-вектор точки а її нормальний вектор. то рівняння (3.18) можна записати у векторній формі
Якщо і направляючі вектори площини (вектори, які паралельні площині або лежать в площині), то вектор а тому може бути прийнятий за нормальний вектор площини
Тоді рівняння площини можна записати у вигляді
(3.24)
Нехай задана точка радіус-вектор якої позначимо через Віддаль від точки до площини краще всього визначити як висоту паралелепіпеда, побудованого на векторах , поділивши об'єм паралелепіпеда на площу основи (рис.3.14). Ми одержимо
Але для кожного нормального вектора площини можна вибрати направляючі вектори і такими, щоби Тому ми маємо
Рис.3.14 або в координатній формі
В силу того, що точка маємо
звідки Тоді одержимо формулу для обчислення віддалі від точки до площини заданої рівнянням
(3.25)
Приклад 1. Задані чотири точки і .
а) Перевірити чи лежать чотири точки в одній площині;
Написати рівняння:
б) площини що проходить через три точки
в) площини , що проходить через точку і паралельна площині
г) площини , що проходить через точки і перпендикулярна
площині
д) площини що проходить через точки
Обчислити:
е) кут між площинами і
є) віддаль між площинами і
Р о з в ' я з о к.
а) Знайдемо вектори Точки лежатимуть в одній площині тоді, коли вектори компланарні (змішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю) :
Отже вектори некомпланарні, а значить, точки не лежать в одній площині.
б) Запишемо рівняння площини , що проходить через три заданих точки :
в) Рівняння площини , що проходить через точку
Оскільки і паралельні, то
г) Рівняння площини шукаємо у вигляді (рівняння площини, що проходить через точку ) . Коефіцієнти знаходимо із умов: тоді
і після ділення рівняння на
одержимо
д) Рівняння площини , що проходить через точки
е) Кут між площинами і визначається як кут між їх нормальними векторами і
або
є) Віддаль між двома паралельними площинами і знаходимо як віддаль від довільної точки, що лежить в площині наприклад до площини
Приклад 2. Записати рівняння площини, що проходить через точку і вісь
Р о з в ' я з о к. Рівняння площини шукаємо у вигляді Оскільки площина проходить через вісь то точки , лежать в даній площині; значить, і рівняння шуканої площини має такий вигляд (після ділення на )
3.5. Пряма в просторі
3.5.1. Рівняння прямої в просторі
Пряма в просторі задана, якщо відома деяка точка що лежить на цій прямій, і вектор , який паралельний цій прямій. Такий вектор називається направляючим вектором прямої. Тоді довільна точка буде лежати на цій прямій тоді і тільки тоді, коли вектори і будуть колінеарні, тобто Оскільки координати цих векторів то останню рівність в координатній формі можна записати так:
(3.26)
Рівняння (3.26) називаються параметричними рівняннями прямої в просторі ( параметр).
Виключаючи із рівнянь (3.27) параметр одержимо канонічне рівняння прямої в просторі
(3.27)
Нехай дві точки і лежать на прямій . Тоді за направляючий вектор можна взяти вектор Підставляючи в рівняння (3.27)
замість і відповідні координати вектора , одержимо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
(3.28)
Пряма в просторі може задаватися як лінія перетину двох площин
і .
Оскільки довільна точка що лежить на прямій, буде лежати і в цих площинах, то її координати будуть задовольняти обидва рівняння цих площин, тобто систему рівнянь. Отже рівняння такої прямої можна записати у вигляді системи рівнянь
(3.29)
Рівняння (3.29) називається загальним рівнянням прямої в просторі. Очевидно, що рівняння (3.29) задають рівняння прямої, коли площини і непаралельні. Координати нормальних векторів площин і такі: Тоді , оскільки , то пряма буде перпендикулярна обом нормальним векторам і Тоді в якості направляючого вектора можна взяти вектор
3.5.2. Кут між двома прямими в просторі.
Умови паралельності та перпендикулярності
Кут між двома прямими і , заданих рівняннями
,
визначається як кут між їх направляючими векторами та Тому
(3.30)
Якщо прямі і паралельні, то їх направляючі вектори і будуть колінеарні. Тоді одержимо умову паралельності двох прямих
(3.31)
Якщо прямі і перпендикулярні, то , і ми маємо умову перпендикулярності двох прямих
(3.32)
3.5.3. Кут між прямою і площиною.
Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини
Кут між прямою та площиною визначається кутом між цією прямою та її
проекцією на площину (рис.3.15). Нехай пряма задана канонічним рівнянням
а площина - загальним рівнянням
.
Направляючий вектор прямої має координати , а нормальний вектор площини Очевидно, що кут між прямою і площиною дорівнює де це кут між
Рис. 3.15 векторами і Тоді і
Отже, кут між прямою і площиною визначається за формулою
(3.33)
Пряма паралельна площині якщо вектори і перпендикулярні. Тому умова паралельності прямої і площини має вигляд
(3.34)
Пряма перпендикулярна площині якщо вектори і колінеарні, і умова перпендикулярності прямої і площини запишеться так
(3.35)
Приклад 1. Обчислити віддаль між двома паралельними прямими
і .
Р о з в ' я з о к. Візьмемо на прямій точку і знайдемо основу перпендикуляра , опущеного із точки на пряму Для цього проведемо через точку площину, перпендикулярну прямій Рівняння площини має вигляд Точка - це точка перетину даної площини з прямою Знайдемо координати точки , розв'язавши систему рівнянь
Дану систему рівнянь найкраще розв'язувати, записавши рівняння прямої в параметричній формі
Тому Отже, Віддаль між двома прямими і дорівнює довжині відрізка , тобто
Приклад 2. Знайти проекцію точки на площину
Р о з в ' я з о к. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до заданої площини , і знайдемо точку їх перетину Запишемо рівняння прямої в параметричній формі і розв'яжемо систему рівнянь
Отже, проекція точки на задану площину має координати
Loading...

 
 

Цікаве