WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями. Пряма на площині. Площина(пошукова робота) - Реферат

Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями. Пряма на площині. Площина(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота
на тему:
Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями. Пряма на площині. Площина. Пряма в просторі. Пряма і площина.
План
" Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями.
" Рівняння прямої на площині.
" Площина.
" Пряма в просторі.
" Кут між прямими, умови паралельності та перпендикулярності. Кут між площинами, умови паралельності та перпендикулярності.
" Віддаль від точки до прямої на площині та від точки до площини.
" Пряма та площина.
Пряма на площині
1. Рівняння прямої на площині
Рівняння першого степеня, що зв'язує координати точки на площині, - це рівняння
(3.3)
при умові
В декартовій системі координат на площині кожна пряма лінія може бути задана лінійним рівнянням і, навпаки, кожне лінійне рівняння (3.3) визначає пряму лінію .
Рівняння (3.3) називається загальним рівнянням прямої на площині.
Нехай точка лежить на прямій ( ). Це значить, що її координати задовольняють рівняння (3.7)
Вираховуючи із рівняння (3.7) дану рівність, одержимо рівняння прямої, що проходить через задану точку
(3.4)
Якщо довільна точка на прямій, то вектор повністю лежить на прямій а ліва частина рівності (3.8) виражає скалярний добуток векторів і Оскільки скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, то вони є перпендикулярні , а це значить, що вектор перпендикулярний прямій . Вектор, який перпендикулярний до прямої називається нормальним вектором прямої. Вектор який паралельний прямій, називається направляючим вектором прямої. Очевидно, що і, наприклад,
Нехай задана пряма Позначимо через радіус-вектор її початкової точки . Розглянемо тепер деяку точку , радіус-вектор якої позначимо через (рис.3.7). Вектор , початок якого лежить на прямій, паралельний прямій тоді і тільки тоді, коли його кінець ( точка ) також лежить на прямій. В цьому
Рис.3.7
випадку для точки знайдеться таке число (параметр), що
(3.5)
Рівняння (3.5) називається векторно-параметричим рівнянням прямої.
Нехай в загальному вигляді направляючий вектор має координати Записавши рівняння (3.5) в координатній формі, одержимо параметричні рівняння прямої на площині
(3.6)
Виключаючи із рівнянь (3.6) параметр одержимо канонічне рівняння прямої (3.7)
Із рівняння (3.17) одержимо
Позначимо . Тоді одержимо рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку
(3.8)
Очевидно, що де кут, що утворює пряма (вектор ) з
додатнім напрямом осі Величину називають кутовим коефіцієнтом прямої
Позначивши через із рівняння (3.8) одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
(3.9)
Нехай дві точки і лежать на прямій Тоді за напрямний вектор можна взяти вектор, що з'єднує ці дві точки Підставивши в рівняння (3.7)
Замість і координати вектора одержимо рівняння прямої, що проходить через дві заданих точки
(3.10)
Нехай задані точки перетину прямої з осями координат і Використавши рівняння (3.10), одержимо
або
(3.11)
Рівняння (3.11) називається рівнянням прямої у відрізках.
Пучком прямих на площині називається сукупність прямих, що проходять через фіксовану точку - пучка. Будемо вважати, що дві прямі і перетинаються
( ) в точці Рівняння
(3.12)
де називається рівнянням пучка прямих на площині.
2. Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих
Нехай дві прямі і задані рівняннями
і . Позначимо через
і кути, які утворюють прямі і з додатнім напрямком осі (рис.3.8), а це кут між цими прямими.
Рис.3.8
Тоді а Оскільки, то
або (3.13)
Якщо прямі і паралельні, то їх кутові коефіцієнти рівні
Якщо прямі перпендикулярні, то , а тому
Можна обчислювати кут між двома прямими як кут між їх нормальними векторами і
(3.14)
3. Віддаль від точки до прямої
Нехай пряма задана рівнянням і точка
радіус-вектор якої Точка радіус-вектор якої направляючий вектор прямої Тоді
віддаль від точки до прямої можна розглядати як висоту паралелограма, побудованого на векторах і (рис.3.9).
Рис.3.9
Знайдемо площу паралелограма
= Але точка тому
Тоді одержимо:
(3.15)
Рівняння
(3.16)
називається нормальним рівнянням прямої на площині.
Приклад 1. Дві сторони паралелограма задані рівняннями і Діагоналі його перетинаються в початку координат. Написати рівняння двох інших сторін паралелограма та його діагоналей.
Р о з в ' я з о к. Знайдемо координати точки перетину сторін паралелограма
Нехай це точка (рис.3.). Точка точка перетину діагоналей (середина діагоналі ). Тоді і Очевидно також, що рівняння
сторони а рівняння сторони Оскільки паралельна то рівняння сторони шукаємо у вигляді
знаходимо із умови, що точка
і рівняння сторони
Аналогічно знайдемо рівняння сторони і
рівняння сторони Координати вершини шукаємо із системи рівнянь Аналогічно знаходимо координати вершини
Рівняння діагоналі
Рис.3.10
Рівняння діагоналі
Приклад 2. Написати рівняння прямої, що паралельна двом прямим і та проходить посередині між ними, якщо:
Р о з в ' я з о к. Оскільки то паралельні прямі і розташовані по одну сторону від початку координат, а тому і шукана пряма теж буде розташована по ту ж сторону від початку координат і
Рівняння прямої
Площина
3. Рівняння площини
Алгебраїчне рівняння першого степеня, що зв'язує координати точки в просторі має вигляд
(3.17)
при умові
В декартовій системі координат в просторі кожна площина може бути задана лінійним рівнянням (3.17) і, навпаки, кожне лінійне рівняння (3.17) в декартовій системі координат в просторі задає площину . Отже, площина - це алгебраїчна поверхня першого порядку.
Рівняння (3.17) називається загальним рівнянням площини.
Розглянемо точку, що лежить в площині
Тоді
Вираховуючи із рівняння (3.17) дану рівність, одержимо рівняння площини, що проходить через задану точку
. (3.18)
Якщо довільна точка на площині, то вектор повністю лежить в площині а ліва частина рівності (3.18) виражає скалярний добуток векторів і Оскільки скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, то вони є перпендикулярні , а це значить, що вектор перпендикулярний до площини (рис.3.11). Вектор, який перпендикулярний до площини називається нормальним вектором площини.
Розглянемо три точки, що лежать в площині (і не лежать на одній прямій)
Рис.3.11 Рис.3.12
Очевидно, що вектори ,
також будуть лежати в площині Тоді довільна точка буде належати цій площині, коли вектор буде лежати в площині Отже, вектори компланарні (рис.3.12). Якщо три вектори компланарні, то їх змішаний добуток дорівнює нулю ( ) .
Записавши змішаний добуток трьох векторів в координатній формі, одержимо
(3.19)
Рівняння (3.19) називається рівнянням площини, що проходить через три заданих точки.
Нехай задані точки перетину площини з осями координат Тоді одержимо із рівняння (3.19)
або
. (3.20)
Рівняння (3.20) називається рівнянням площини у відрізках.
Зв'язкою площин називається сукупність площин, що проходять через фіксовану точку - центр зв'язки. Нехай площини з рівняннями перетинаються в єдиній точці Рівняння зв'язки площин
з центром в точці при умові, що
Пучком площин називається сукупність площин, що проходять через фіксовану пряму - вісь пучка. Рівняння пучка
Loading...

 
 

Цікаве