WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах(пошукова робота) - Реферат

Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота на тему:
Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах.
План
" Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах
" Подвійний інтеграл в полярних координатах
Обчислення подвійного інтеграла
При одержимо подвійний інтеграл
.
1. Обчислення подвійного інтеграла
в декартових координатах
Обчислюючи подвійний інтеграл, будемо опиратися на той факт, що він виражає об'єм циліндричного тіла з основою , обмеженого поверхнею . Нагадаємо, що задача про об'єм тіла розглядалася при вивченні застосування означеного інтеграла до задач геометрії. Дістали формулу
, (11.16)
Рис.11.4 Рис.11.5
де - площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі , а і - рівняння площин, що обмежують тіло. Застосуємо тепер цю формулу для обчислення подвійного інтеграла.
Припустимо спочатку, що область задовольняє таку умову: будь-яка пряма, паралельна осі , перетинає границю області не більше , ніж у двох точках. Називатимемо таку область правильною в напрямі осі , або правильною в напрямі осі .
На рис. 11.4 зображено циліндричне тіло. Область беремо в прямокутник , сторони якого дотикаються до межі області в точках Інтервал є ортогональною проекцією області на вісь , а інтервал - ортогональною проекцією області на вісь . На рис. 11.5 область показана в площині
Точками і границя розбивається на дві лінії: і , кожна з яких перетинається з будь-якою прямою, паралельною осі , в одній точці. Тому рівняння цих ліній запишуться так:
: , : .
Так само точками і межа області розбивається на лінії і , рівняння яких:
.
Розітнемо циліндричне тіло довільною площиною, паралельною площині , тобто (рис. 11.4). В перерізі матимемо криволінійну трапецію , площа якої визначається інтегралом від функції , що розглядається як функція однієї змінної , причому змінюється від ординати точки до ординати точки . Точка називається точкою входу прямої в область , а точка - точкою виходу із області. Із рівняння ліній і випливає , що ординати цих точок при взятому дорівнюють і . Отже, інтеграл
дає вираз для плоского перерізу . Величина цього інтеграла залежить від вибраного , тобто є функцією . Позначивши його через , маємо:
. (11.17)
Згідно з формулою (11.16) об'єм усього тіла дорівнюватиме інтегралу від , якщо .
Рис.11.6
Замінюючи у формулі (11.16) її виразом (11.17), дістаємо
або в зручнішій формі
. (11.18)
Міняючи і місцями, можна вивести й формулу:
. (11.19)
З (11.18) і (11.19) бачимо, що значення повторного інтеграла (що стоїть у правій частині рівності (11.18) або (11.19) ) не залежить від порядку інтегрування за різними аргументами:
.
Формули (11.18) і (11.19) показують, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до послідовного обчислення двох звичайних визначених інтегралів; потрібно тільки пам'ятати, що у внутрішньому інтегралі одна зі змінних при інтегруванні вважається сталою величиною. Формули (11.18) і (11.19) зведення подвійного інтеграла до повторного набирають простого вигляду, коли область буде прямокутником зі сторонами, паралельними осям координат (рис. 11.6). В цьому разі сталими стають межі інтегрування не тільки в зовнішньому, а й у внутрішньому інтегралі:
.
Отже, подвійний інтеграл можна обчислювати за такою схемою:
1. Спроектувати область на вісь (знайти точки і ).
2. Провести пряму, паралельну осі , яка перетинає межу області в точках входу в область і виходу з неї. Записати рівняння цих меж, тобто рівняння і .
3. Розставити межі інтегрування за змінною і змінною в повторному інтегралі (11.18) і обчислити його.
Зауваження. Якщо область неправильна в напрямі осі , то необхідно таку область розбити прямими , паралельними , на кілька правильних областей.
За аналогічною схемою обчислюється подвійний інтеграл (11.19).
Приклад. Обчислити подвійний інтеграл
,
де область обмежена лініями (рис. 11.7).
Р о з в 'я з о к. В напрямі осі область правильна. Спроектувавши область на вісь маємо: . Крива входу
Рис.11.7
Крива входу описується рівнянням , а лінія виходу - рівнянням . За формулою (11.18) маємо:
.
Якщо змінити порядок інтегрування, то в напрямі осі область буде неправильною. Таку область потрібно розбити на дві області: і (на рис. 11.7 області відповідає фігура , а області - трикутник ). Тоді:
.
2. Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах
Віднесемо площину, в якій задана область , до полярної системи координат . Нехай полюс лежить у початку декартової системи і полярна вісь збігається з віссю . Тоді декартові координати точки визначаються через полярні за формулами .
Область інтегрування розіб'ємо на елементарні області двома системами координатних ліній: (відповідно концентричні кола з центром у полюсі і промені, які виходять із полюса (рис. 11.8)). При цьому елементарними областями будуть криволінійні чотирикутники. Площа області буде:
,
або
,
де - середній радіус між і .
Припускаючи, що функція неперервна в області , складемо для неї інтегральну суму , вибираючи точки в областях так, щоб вони лежали на середніх колах радіуса , тобто покладемо . Тоді інтегральна сума запишеться так :
.
У правій частині стоїть інтегральна сума для функції
Рис.11.8 Рис.11.9
за змінними і , а тому, переходячи до границі, дістанемо
. (11.20)
Це і є формула перетворення подвійного інтеграла від декартових координат до полярних . Вираз називається елементом площі.
Обчислення подвійного інтеграла в полярній системі координат, як і в декартовій, зводиться до послідовного інтегрування за змінними і .
Вкажемо правила розстановки меж інтегрування.
1. Нехай полюс лежить за областю інтегрування , а сама область поміщена між променями та і координатні лінії зустрічають її межу не більше як у двох точках (рис.11.9). Припустимо, що полярні рівняння кривих і .
Інтегруючи спочатку за у межах його зміни за сталою , тобто від до , а потім за від до , дістанемо
. (11.21)
У частинному випадку , якщо область інтегрування є частина кругового кільця , то межі інтегрування сталі за двома змінними
. (11.22)
2. Нехай полюс лежить в області інтегрування і будь-який полярний радіус перетинає її межу в одній точці. Інтегруючи спочатку за , а потім за , дістаємо
Рис.11.10
, (11.23)
де - полярне рівняння межі області .
Частково, при , тобто , якщо область інтегрування є круг зцентром в полюсі, то
. (11.24)
Отже, щоб перейти в подвійному інтегралі від декартової системи координат до полярної і обчислити його, необхідно:
1) записати межу області у полярних координатах;
2) замінити аргументи та підінтегральної функції відповідно на і ;
3) замінити елемент площі на ;
4) розставити межі інтегрування по області ;
5) обчислити повторний інтеграл.
Приклад. За допомогою переходу до полярних координат обчислити подвійний інтеграл де область частина кільця (рис. 11.10).
Р о з в ' я з о к.
Loading...

 
 

Цікаве