WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаЛогіка → Класична логіка предикатів - Реферат

Класична логіка предикатів - Реферат

Крiм того, за будь-якою вiдповiднiстю C мiж множинами A i B (тобто CAB) можна побудувати бiнарний двосортний предикат P(x,y) таким чином:

P(a,b) = 1 тодi i тiльки тодi, коли (a,b)C для aA i bB.

Зокрема, будь-якiй функцiональнiй вiдповiдностi або функцiї f: MnM можна поставити у вiдповiднiсть (n+1)-мiсний предикат P на M такий, що P(a1,a2,...,an,an+1) = 1 тодi i тiльки тодi, коли f(a1,a2,...,an) = an+1.

Отже, такi фундаментальнi математичнi поняття як вiдповiднiсть (зокрема, функцiя), вiдношення, висловлення можна розглядати як окремi випадки бiльш загального поняття предиката.

Відмітні риси логіки предикатів.

Символічну логіку поділяють на логіку висловлень і логіку предикатів. Логіка предикатів ґрунтуєтнся на логіці висловлень.

Якщо логіка висловлень ігнорує структуру простих висловлень, вивчаючи тільки правильність зв'язків між ними, то логіка предикатів зосереджує свою увагу саме на структурі висловлень

У логіці предикатів розрізняють логіку предикатів першого ступеня (порядку) і логіку предикатів більш високая ступенів (порядків).

З часів Арістотеля (384— 322 до н. е.) у логіці існує поняття "судження". Давньогрецький філософ означав його як думку, що стверджує чи заперечує що-небудь про що-небудь.

Структурно судження складається з суб'єкта, предиката й дієслова-зв'язки. Так, у судженні "Хома Брут є київський філософ" ім'я "Хома Брут" є суб'єктом (5), вираз "київський філософ" — предикатом (Р), а дієслово "є" - І зв'язкою.

Наприкінці XJX ст. математик і логік Г. Фреге піддай гострій критиці традиційне тлумачення структури судження, продемонструвавши своє критичне ставлення до ція традиції на прикладі двох речень:

"Греки завдали поразки персам при Платеях"; "Перси були розбиті греками при Платеях".

Граматична відмінність між цими реченнями полягає І зміні активної форми ("греки завдали") на пасивну ("роя биті греками"), тобто в першому реченні суб'єктом є "греки", а в другому — "перси".

У живій мові часто буває так: те, що раніше виступало у ролі суб'єкта (підмета), відносно легко може стати предикатом (присудком), і навпаки. Але в такому разі відмінність має лінгвістичний характер, а не строго логічний. Незважаючи на це, дані речення мають одне й те саме значення істинності. У зв'язку з цим Фреге вважав, що словесний порядок, який спирається на граматичне розмежування суб'єкта й предиката, не має значення для логіки.

Необхідність переосмислити сутність іменування в логіці була зумовлена введенням Фреге понять "функція" і "аргумент". На його думку, номінативний вираз ("ім'я") можна поділити не тільки на суб'єкт й предикат, а й на функцію і аргумент, що більше відповідає логіці, яка орієнтується на математику, а не на психологію чи лінгвістику. Вчений неодноразово наголошував, що поняття "функція" і "аргумент" лише маркірують структурні особливості певного виразу, не зачіпаючи його смислового змісту.

Запропонований фрегівський погляд на процес номінації (іменування) був корисним для логіки тим, що давав змогу користуватися під час логічного аналізу теоретико-множинними уявленнями (наприклад: функція як відображення однієї множини в іншій множині), в результаті чого предикат стали розглядати як пропозиційну функцію форми F(x).

Вчення про пропозиційні функції та квантори є найважливішим внеском Фреге в сучасну логіку.

Пропозиційна функція за означенням є мовною конструкцією, яка містить змінну. Ця конструкція за підстановки будь-якого значення для даної змінної перетворюється на висловлення.

Тобто пропозиційною є така функція, яка співвідносить представників певної предметної області з областю значень істинності.

Відомо, що вираз форми F(x) (де F — властивість певного індивіда х) являє собою таку елементарну пропозиційну функцію, з якої одержують елементарне (просте) висловлення, замінивши змінну позначеннями конкретних індивідів. Наприклад: F(x) -> "х зелений" -" "трава зелена".

Отже, пропозиційна функція може стати висловленням тоді й тільки тоді, коли аргумент (змінна) набуває конкретного предметного значення. Уведення поняття "пропозиційна функція" надає математичної строгості логічному аналізові висловлень (пропозицій).

Щоб побудувати складну пропозиційну функцію, необхідно здійснити певні операції. У логіці символи цихі операцій називають кванторами, а самі операції — кван-тифікацією пропозиційних функцій.

Хоч ідея квантифікації належить Фреге, автором термінів "квантор" і "квантифікація" є американський вчений Ч. С Пірс (1839- 1914).

Використання пропозиційних функцій і кванторів істотно спростило й прояснило методи логічного аналізу, дозволивши точно формулювати та строго доводити принципи логіки, на підставі яких одні висловлення можна коректно виводити з інших.

Здавалося б, з поняттям "предикат" у логіці покінчено раз і назавжди. Проте цей термін залишився: ним користуються, коли треба вказати на можливість логічного аналізу структури висловлень. У такому випадку термін "предикат" набув метафоричного значення. Так, у Д. Гіль-J Берта, американського математика й логіка С. Кліні (1909— 1994) цей термін вживається для позначення пропозиційної функції.

За допомогою предикації (пропозиційної функції) здійснюється поєднання одиничного й загального термінів.

Логіки поділяють терміни на одиничні (сингулярні), загальні й порожні. Одиничнії термін позначає один об'єкт, загальний — кілька об'єктів; порожній термін не позначає жодного об'єкта.

Предикацію схематично зображують так: "х є F" (у традиційній логіці це має вигляд "iS" є Р"). За допомогою символів пропозиційної функції предикацію записують! так: F(x).

Закони логіки висловлень і логіки предикатів.

Різноманітність властивостей і відношень охоплює розширена логіка предикатів, тобто логіка предикатів більш високого ступеня. Зокрема, предикати другого ступеня (предикати предикатів) відображають властивості, притаманні властивостям індивідів. Цю ієрархію можна продовжувати скільки завгодно, та логіки зазвичай користуються предикатами першого й другого ступенів.

Взявши до уваги вказані характерні риси логіки предикатів, розглянемо застосування операцій логіки висловлень до предикатів на прикладі найпростішого випадку одномісних предикатів.

Нехай М — певна множина, на якій означено предикати. Назвемо цю множину областю. Кожному одномісному предикатові форми F{x) можна поставити у відповідність множину елементів а з області М, для якої F(a) істинне. Позначимо цю підмножину як Л^ і виконаємо зворотну операцію, а саме: кожній множині, що належить М, можна поставити у відповідність предикат Р(х), що являє собою висловлення, істинне тоді й тільки тоді, коли хє N. Предикат Р(х) набуває значення "істина" на N і значення "ложність" поза N. Отже, N є N. Така відповідність між підмножинами множини М і одномісними предикатами, означеними на множині М, взаємно-однозначна.

Як відомо, теоретико-множинною сумою N{ u N2 двох множин УУ, і N2 називається множина, яка містить усі елементи множини /V, і всі елементи множини N2. Teopeтико-множинним добутком, або перетином, /V, п N2 двох множин /V, і N2 називається множина всіх елементів, які належать і множині N{, і множині N2.

Таким чином, булеві операції ->, &, v над одномісними предикатами відповідають операціям над множинами. Ці операції називаються перетином, об єднанням і доповненням множин.

Якщо закони логіки висловлень застосовуються до виразів, котрі за будь-якого розподілу значень істинності своїх пропозиційних змінних набувають значення "істина", то з деякими поправками аналогічні закони діють і в логіці предикатів. Що стосується поправок, то в даному випадку слід ураховувати таке: якщо перетворення пропозиційної функції форми "х має властивість Р" на істинне висловлення залежить передусім від обраної індивідної області, то закони логіки предикатів треба шукати у виразах, які не залежать від тієї чи іншої області індивідів як значень змінних, але є значущими для будь-яких непорожніх областей. Річ у тім, що логіка предикатів розглядає предикати взагалі, тобто вона цікавиться структурою висловлень, незалежно від їхнього конкретного смислового змісту. Тому закони логіки предикатів заявляють про себе в таких виразах, які не залежать від конкретних значень предикатних змінних і є правильними для будь-яких їхніх значень.

Одним із таких законів є закон виключеного третьог (середнього). У символічному записі цей закон має вигляд:

x(F(x) v Н F{x)).

Зауважимо, що в логіці є два формулювання одержання правильних умовиводів. Перше постає у вигляд' правил виведення, а друге — у вигляді логічних законів.

Логічні правила — це своєрідні директивні вказівки, які базуються на логічних законах і дають змогу визнавати правильними висловлення, що утворені в результаті виведення з істинних посилок.

Законами логіки висловлень і предикатів називаються схеми побудови істинних складних висловлень.Інакше кажучи, закони логіки висловлень і предикатів — це такі вирази, яким за будь-яких підстановок значень замість змінних завжди відповідає істинне висловлення. До цих законів, які ще називають теоремами, належать:

Loading...

 
 

Цікаве