WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаЛогіка → Класична логіка предикатів - Реферат

Класична логіка предикатів - Реферат

Реферат

на тему:

Класична логіка предикатів

План

  1. Предикат.

  2. Логіка предикатів.

  3. Числення предикатiв.

  4. Відмітні риси логіки предикатів.

  5. Закони логіки висловлень і логіки предикатів.

  6. Список використаної літератури.

Предикат.

Предикат - в традиційній логіці один з двох термінів думки, а саме той, в якому щось мовиться про предмет мови (суб'єкт). До кінця 19 ст. у логіці суб'єкт думки, як правило, ототожнювався з граматичним підметом, а предикат - з іменною частиною граматичного присудка, що виражається, наприклад, прикметником. традиційним огглядом, форма присудка (предикативний зв'язок) зводилася до атрибутивного зв'язку, т. про означала, що предмету (суб'єктові) властива певна ознака. Розвиток математичної логіки сів до перегляду цій точці зору.

Новий погляд характеризується узагальненням поняття "Предиката" на основі поняття особливого роду функції - логічної (або пропозіциональної) функції, значеннями якої служать вислови (або їх істинне значення - "істина" і "брехня"). Напр., вислову "Сократ є людина" в традиційному розумінні відповідала схема "S є Р". Якщо S і Р розглядати як змінні, що мають різні області значень: S - область "індивідуальних предметів", а Р - область "розумінь, напр., при виборі поняття "людина" як значення змінної Р отримаємо вираз "S є людина", або вираз ".. .є людина" (де крапки замінюють букву S), так ще, по суті, функцію від однієї змінної, яка стає висловом (приймає значення "істина" або "брехню"), коли на місце крапок (або змінній S) ставлять ім'я деякого суб'єкта (напр., "Сократ"), що грає тут звичайну роль аргументу функції. Аналогічно цьому вираз "...більше, чим..." є функція від двох змінних, а вираз "...находится між... і..." - функція від трьох змінних і т.п.

В математичній логіці функції, значеннями яких служать вислови (або їх істинне значення "відмітка" і "брехня"), і називають предикат Т. обр., новий погляд на логічну структуру думки зводиться до того, що традиційні поняття предиката і суб'єкта замінюються відповідно на точні математичні поняття функції і її аргументів. Відповідно до цього предикат визначаються на множинах (областях предметів), елементи доелементи яких служать аргументами, або значеннями відповідних змінних, нове трактування предикат додає необхідну спільність логічному міркуванню, яке об'єднує висновки не тільки силогізму, але і несилогізму, а функціональна форма запису відкриває широкі можливості для формалізації висловів будь-якій науковій теорії.

Логіка предикатів.

Логіка Предикатів - або: Функціональна логіка, теорія квантифікації, логіка квантора, - основной розділ сучасної (математичної, символічної) логіки, в якому описуються виводи, що враховують внутрішню (суб'єктний-предикативну) структуру висловів. Логіка Предикатів є розширеним варіантом логіки висловів.

У Логіці Предикатів — на додаток до засобів логіки висловів -вводяться логічні оператори " ("для всіх") і $ ("для деяких" або "існує"), звані кванторами спільності і існування відповідно. Для виявлення субъектно-предикативної структури висловів вводиться нескінченний перелік індивідних змінних: х, у, z ..., х1, у1, zl ..., що представляють різні об'єкти, і нескінченний перелік предикативних змінних: Р, Q, R ..., Р1, Q1, Л1 ..., представляючої властивості і відношення об'єктів.

Індивідні змінні приймають значення в довільній (непорожній) області; разом з цими змінними можуть вводитися індивідні константи, або імена власні. Запис ("х) Р (х) означає "Всякий х володіє властивістю Р"; ($х)Р(х) - "Деякі х володіють властивістю Р"; ($x)Q(xy) - "Існує х, що знаходиться відносно Q з у" і так дальше. Індивідна змінна, що входить в область дії квантора по цій перемінній, називається зв'язаною; змінна, що не є зв'язаною, називається вільною.

Так, у всіх трьох приведених формулах змінна х зв'язана, в останній формулі переменна у вільна. Справжньою змінною є тільки свобідна змінна: замість неї можна підставити одне з її значень і отримати осмислений вираз. Зв'язані перемінні називаються фіктивними. Формула Логіки Предикатів називається загальнозначною, якщо вона істинна в кожній інтерпретації. Тавтологія логіки висловів является окремим випадком загальнозначної формули. У Логіки Предикатів, на відміну від логіки висловів, немає ефективного процесу, дозволяє для довільно узятої формули вирішити, є вона загальнозначна чи ні.

Числення предикатiв.

Числення висловлень, що розглядалось у попереднiх роздiлах, як алгебра висловлень i як формальна (аксiоматична) теорiя, є важливою i невiд'ємною складовою частиною всiх числень математичної логiки. Однак воно є занадто бiдним для опису та аналiзу найпростiших логiчних мiркувань науки i практики.

Однiєю з причин цього є те, що у численнi висловлень будь-яке просте висловлення розглядається як вихiдний об'єкт дослiдження, неподiльне цiле, позбавлене частин i внутрiшньої структури, яке має лише одну властивiсть - бути або iстинним, або хибним.

Для того, щоб побудувати систему правил, яка дозволяла б проводити логiчнi мiркування для виведення нетривiальних правильних висновкiв з урахуванням будови i змiсту простих висловлень, пропонується формальна теорiя, що дiстала назву числення предикатiв.

Теорiя предикатiв починається з аналiзу граматичної будови простих висловлень i грунтується на такому висновку: простi висловлення виражають той факт, що деякi об'єкти (або окремий об'єкт) мають певнi властивостi, або що цi об'єкти знаходяться мiж собою у певному вiдношеннi.

Наприклад, в iстинному висловленнi "3 є просте число" пiдмет "3" - це об'єкт, а присудок "є просте число" виражає деяку його властивiсть.

У латинськiй граматицi присудок називається предикатом, звiдси цей термiн i увiйшов у математичну логiку. Головним для логiки предикатiв є саме друга складова речення-висловлення - присудок-властивiсть. Вона фiксується, а значення об'єкта пропонується змiнювати так, щоб кожен раз отримувати осмисленi речення, тобто висловлення.

Наприклад, замiнюючи у наведеному вище висловленнi 3 на 1, 5, 9 або 12, матимемо вiдповiдно такi висловлення: "1 є просте число", "5 є просте число", "9 є просте число", "12 є просте число", з яких друге є iстинним, а решта - хибними висловленнями.

Таким чином, можна розглянути вираз "x є просте число", який не є висловленням, а є так званою пропозицiйною (висловлювальною) формою. Тобто формою (або формуляром), пiсля пiдстановки в яку замiсть параметра (змiнної) x об'єктiв (значень) з певної множини M, дiстаємо висловлення.

Аналогiчно можна трактувати, наприклад, пропозицiйнi форми "a є українцем", "b i c є однокурсники", "c важче d", або "точка x лежить мiж точками y i z". У першi двi з них можна пiдставляти замiсть параметрiв a, b i c прiзвища конкретних людей. У третю замiсть c i d назви будь-яких об'єктiв (предметiв), якi мають вагу. Для четвертої множиною M значень змiнних x, y i z є множина точок певної прямої.

Перша з цих пропозицiйних форм задає, як i в наведенiй ранiше формi, певну властивiсть для об'єкта a. Iншi три форми описують деякi вiдношення мiж вiдповiдними об'єктами.

Розглянувши конкретнi приклади i коротко зупинившись на мотивацiї та змiстовнiй iнтерпретацiї подальших понять, перейдемо до формальних математичних означень.

n-мiсним предикатомP(x1,x2,...,xn) на множинi M називається довiльна функцiя типу MnB, де B = {0,1} - бульовий (двiйковий) алфавiт.

Множина M називається предметною областю, або унiверсальною множиною, а x1,x2,...,xn - предметними змiнними, або термами предиката P.

Множина елементiв (a1,a2,...,an)Mn таких, що P(a1,a2,...,an) = 1 називається областю iстинностi (або характеристичною множиною) предиката P.

Якщо P(a1,a2,...,an) = 1, то згiдно з логiчною iнтерпретацiєю будемо говорити, що предикат P є iстинним на (a1,a2,...,an). У противному разi, казатимемо, що предикат P є хибним.

Взагалi кажучи, можна означити так званий багатосортний предикат, як функцiю типу M1M2...MnB, дозволивши різним його аргументам приймати значення з рiзних множин. Iнодi це буває доцiльним; однак частiше в логiцi предикатiв використовують наведене ранiше означення.

Неважко зрозумiти, що пропозицiйна форма є одним зi способiв задання предиката.

Для n = 1 предикат P(x) називається одномiсним або унарним, для n = 2 P(x,y) - двомiсним або бiнарним, для n = 3 P(x,y,z) - трьохмiсним або тернарним предикатом.

Очевидно, що коли в n-арному предикатi P(x1,x2,...,xn) зафiксувати деякi m змiнних (тобто надати їм певних значень з множини M), то отримаємо (n-m)-мiсний предикат на множинi M. Це дозволяє вважати висловлення нульмiсними предикатами, якi утворено з багатомiсних предикатiв пiдстановкою замiсть усiх їхнiх параметрів певних значень з предметної областi. Таким чином, висловлення можна розглядати як окремий випадок предиката.

Для довiльної множини M i довiльного n iснує взаємно однозначна вiдповiднiсть мiж сукупнiстю всiх n-мiсних предикатiв на M i множиною всiх n-арних вiдношень на M. А саме, будь-якому предикату P(x1,x2,...,xn) вiдповiдає вiдношення R таке, що (a1,a2,...,an)R тодi i тiльки тодi, коли P(a1,a2,...,an) = 1. Очевидно, що при цьому R є областю iстинностi предиката P.

Loading...

 
 

Цікаве