WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаЛогіка → Логічний вивід і проблема розв'язання - Реферат

Логічний вивід і проблема розв'язання - Реферат

необхідною, проте недостатньою умовою істинності А. Аналогічно можна охарактеризувати й імплікацію В->А, орієнтуючись на її складові (антецедент і консеквент), а не на буквене їх позначення. За умови істинності А->В і В-> ->А з цих даних можна вивести еквіваленцію АВ, в якій виражається взаємна необхідність і достатність А і В.
Наприклад:
Якщо трикутник рівносторонній, то він рівнокутний (А->Б).
Якщо трикутник рівнокутний, то він рівносторон-
ній (В->А).
Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли він рівнокутний (АВ).
Правило усунення еквіваленції (УЕ):
1 А<В АА'
З цього правила випливають такі висновки:
А++В А-В А-В АА->В
А . В . А . В .
В А В~ А
Про правильність перелічених висновків свідчить таблиця істинності еквіваленції, згідно з якою логічне значення її правої і лівої частин збігається: іі; х--х.
Існують й інші правила виводу, котрі часто виділяють в окрему групу: "...в логіці висловлювань існують також правила перетворення суджень, які задаються відповідними рівносильностями (їх ще називають правилами еквівалентної заміни). Знак "=", що з'єднує дві частини кожної формули, які наводяться нижче, означає логічну тотожність цих частин за будь-яких значень пропозиційних змінних (що можна перевірити, склавши для них таблиці істинності). Ці рівносильності служать алгоритмами правомірної трансформації структури логічних виразів, а також правилами переходу до виразів з іншими логічними сполучниками" [15].
Поняття "рівносильність" (=) тотожне поняттю "еквівалентність" (<-"), хоча є деякі підстави для їх розрізнення. Так, у формулах рівносильностей "=" є головним логічним знаком, тобто таким, що застосовується останнім при побудові формули. Іноді рівносиль-ність невиправдано ототожнюють з рівнозначністю: "Рівнозначність - поняття математичної логіки. Іноді в математичній логіці використовується як синонім відношення рівносильності між формулами, а іноді як синонім операції еквівалентності" [45]. Проте, два висловлювання лише тоді є рівнозначними, якщо вони можуть бути одержаними з рівносильних формул А і Б в результаті заміни всіх змінних, які до них входять, конкретними висловлюваннями [86].
Різні автори називають різну кількість основних рів-носильностей, на яких ґрунтуються правила перетворення висловлювань, їх еквівалентної заміни. Так, П. С Новіков до найважливіших відносить лише 13 рів-носильностей [64], а автори "Формальної логіки" - кілька десятків.
Ось які рівносильності називає П.С. Новіков:
1. А=А.
2. АлВ я ВлА.
3. (АлВ)лС=Ал(ВлС).
4. AvB = BvA.
5. (AvB)vC = Av(BvC).
6. AA(BVC) = (АлВ ) V(AAC ).
7. AV(BAC) = (АУВ)Л(АУС).
8. (AvB) =АлВ.
9. (АлВ) =AvB.
10. AvA=A.
11. АлА=А.
12. Алі =А.
13. Avx st A.
Автори "Формальної логіки" називають півсотні рівносильностей, більшість яких вважають основними. При цьому вони зазначають, що основні рівносильності містять "...схеми формул і належать до нескінченної множини рівносильних одна одній формул логіки висловлювань відповідного виду" [87]. Ось ці 50 рівносильностей:
1. А=А.
2. (АлВ) = (ВлА).
3. Ал(ВлС) а (АлВ)лС.
4. (AvB) a (BvA).
5. Av(BvC) m (AvB)vC.
6. AV(BAC) = (AVB)A(AVC). б'. (BAC)VA = (AVB)A(AVC).
7. AA(BVC) a (AAB)V(AAC). 7'. (BVC)AA = (AAB)V(AAC).
8. AAA=A.
9. AvAaA.
10. (AXE) a (AvB).
11. (AvB) =(AAB).
12. (AAB) = (AB).
13. (A-+B)a(AvB).
14. (AAB) к (АуВ).
15. (AvB) a (AAB).
16. (A 17. ГАуБ)=(АVB)A(AVB).
18. (AVB)A(AVB) a B.
19. АЛ(04/Б; M.
20. AV(AAB) Я A.
21. (AVC)A(BVC) a (AVC)A(BVC)A(AVB).
22. (AAC)V(BAC) a (AAC)V(BAC)V(AAB).
23. fA-BJ = (B-*A).
24. (A++B) = (A++B).
25. (АБ j * (АШІ).
26. (А"*Я; ? (AB)MB-A).
27. Г-5; a&AB)v(AAB).
28. (Av/BJ ? ?Ї-"Я;.
29. fA-BJ a (AAE).
30. (A5B~J = (AAB).
ЗІ. ГАОБ; a(JwB~).
32. fAvfl; s (A33. fAoBJ a (AvB).
34 v (AyB~j = (A~<+B).
35-42. Рівносильності, для побудови яких вдаються до додаткових логічних зв'язок та відповідних символів.
43. і ах.
44. х~аі.
45. Ai = А.
46. Ах т А.
47. Алі =А. 47.' ілА=А.
48. Алх =х. 48! хлА = х.
49. Avi =i. 49! ivA s і.
50. JCVA =A. 50! Avx sA
Рівносильність кожної з наведених схем формул можна обґрунтувати шляхом побудови відповідних таблиць істинності, до яких ми зверталися, визначаючи, яким є те чи інше складне висловлювання, - "завжди істинним" (законом логіки), "завжди хибним" (суперечністю) чи виконуваним (невизначеним) (див. с 101-102).
Перевіримо з допомогою відповідних таблиць істинності рівносильність, скажімо, формул AV(BAC) І (AVB)A(AVC), даних у переліку рівносильностей під номером 6.
А В с ВлС AV(BAC)
і і і і
і і X X
і X і X
і X X X
X і і і
X і X X X
X X і X X
X X X X X
Оскільки в даних таблицях логічне значення (істинність чи хибність) формул (AV(BAC)) І ((AVB)A(AVC)) збігається (порівняйте останні стовпчики таблиць), то вони є рівносильними: AV(BAC) Ш (AVB)A(AVC).
Коротко охарактеризуємо перелічені рівносильності.
Перша рівносильність (А =А) означає, що подвійне заперечення будь-якрї формули рівносильне самій цій формулі: формула А істинна тоді, коли істинною є формула А, і хибна, коли хибною є формула А. Прикладом цієї рівносильності є рівнозначність висловлювань "Хибно, що 5 не є простим числом" і "5 - просте число".
Рівносильності 2 і 3 - (АлВ) щ (ВлА) і Ал(ВлС) = = (АлВ)лС - свідчать про комутативність й асоціативність кон'юнкції, а рівносильності 4 і 5 - (AvB) m = (BvA) і Av(BvC) = (AvB)vC - про комутативність та асоціативність диз'юнкції. Оскільки ці рівносильності досить прості, то навряд чи потрібна ілюстрація їх прикладами.
Рівносильності 6, 6', 7 і 7' - AV(BAC) * (AVB)A A(AVC), (BAC)VA Ш (AVB)A(AVC),AA(BVC) Ш (AAB)V V(AAC), (BVC)AA = (AAB)V(AAC) - свідчать про дистрибутивність диз'юнкції стосовно кон'юнкції і дистрибутивність кон'юнкції щодо диз'юнкції.
Прикладом рівносильності б може бути рівнозначність висловлювань "У вчиненні цього злочину брав участь І. або П. з С." і "У вчиненні цього злочину брав участь принаймні один підозрюваний з обох пар: І. або П. і І. або С".
Ілюстрацією рівносильності 7 є рівнозначність таких висловлювань: "Причиною отруєння є споживання першої страви і принаймні однієї з двох інших - другої або третьої" і "Причиною отруєння є споживання першої і другої страв або першої і третьої".
Рівносильності 8 і 9 - (АлА) = А і (AvA) = А - є законами ідемпотентності кон'юнкції та диз'юнкції.
Рівносильності 10 і 11 - (АлВ) = (AvB) і (AvB) = = (АлВ) - називаються законами де Моргана. Прикладом рівносильності 10 є рівнозначність висловлювань "Хибно, що ця геометрична фігура є квадратом і що вона водночас має гострі кути" і "Ця геометрична фігура не є квадратом або вона не має гострих кутів".
Прикладом рівносильності 11 є рівнозначність висловлювань "Хибно, що він навчався на філософському чи історичному факультеті" і "Він не навчався ні на філософському, ні на історичному факультеті"
Приклад рівносильності 12 - (АлВ) = (А->В,):"Цей трикутник є рівностороннім і рівнокутним" і "Хибно, що коли трикутник є рівностороннім, то він не є рівнокутним".
Приклад рівносильності 13 -(А->В) = (AvB): "Якщо цей предмет металевий, то він
Loading...

 
 

Цікаве