WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаСтрахування → Математичні основи обчислення тарифних ставок - Реферат

Математичні основи обчислення тарифних ставок - Реферат

МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ
ОБЧИСЛЕННЯ ТАРИФНИХ СТАВОК
Поняття випадкової величини. Страхування виникає там, де існують явища і процеси випадкової природи. Тому більшість величин, що розглядаються у страхуванні, є випадковими величинами. З математичного погляду випадкова величина - це змінна, яка може набувати певних значень з певною ймовірністю.
Випадкова величина повністю описується своєю функцією розподілу. Функцією розподілу випадкової величини ?, (або інтегральною функцією) називається функція, яка кожному числу х ставить у відповідність імовірність того, що ?, набуде значення, меншого за х:
.
Функція F?(x) визначена при всіх значеннях аргументу x і має такі властивості:
;
якщо х<у,то F?(x) F?(y);
F?(+?) = l;
F?(+?) = 0;
P{a ? b}=F?(b)-F?(a).
Серед випадкових величин можна виокремити два основні типи - дискретні та абсолютно неперервні.
Дискретною називається випадкова величина, яка може набувати скінченної або зліченної множини значень. Дискретними є, наприклад, такі величини: кількість позовів (страхових випадків) у поточному році кількість договорів, що їх буде укладено страховиком.
Якщо функцію розподілу F?(x) випадкової величини ? можна
подати у вигляді
,
де р?(х) - деяка невід'ємна функція, то випадкова величина ? називається абсолютно неперервною, а функція р?(х) - щільністю розподілу випадкової величини ?. Абсолютно неперервними можна вважати, наприклад, розмір майбутніх прибутків страховика, а також тривалість очікування між двома послідовними страховими випадками.
Числові характеристики випадкових величин. У страховій практиці, як правило, нас цікавлять не самі випадкові величини, а деякі їх числові макрохарактеристики. Найважливішими з них є математичне сподівання та дисперсія.
Математичне сподівання (його називають також середнім, або сподіваним, значенням) - це середньозважене за ймовірністю значення випадкової величини. Для дискретних випадкових величин математичне сподівання обчислюється з формулою:
М[?]= ,
де хі - значення, яких набуває випадкова величина; рі - ймовірності їх реалізації. Для абсолютно неперервних випадкових величин математичне сподівання подається так:
?[?]= ,
де р? - щільність випадкової величини ?. Якщо випадкова величина невід'ємна (0 ?), математичне сподівання можна обчислити за формулою:
?[?]= .
Для будь-яких сталих a, b та випадкових величин ?, ? виконуються такі властивості математичного сподівання:
М[а] = а;
М[b?] = b?[?];
M[? + ?]=?[?]+?[?].
Дисперсія характеризує відхилення випадкової величини ? від її середнього значення й обчислюється як математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від й математичного сподівання:
.
Дисперсія задовольняє такі співвідношення:
;
;
;
,
де а, b - довільні сталі; ?, - випадкова величина. Якщо випадкова величина невід'ємна, дисперсію можна обчислити за формулою.
Поряд з дисперсією часто використовують похідні поняття - стандартне відхилення та коефіцієнт варіації. Стандартним, або середньоквадратичним, відхиленням називають корінь квадратний із дисперсії:
Відношення стандартного відхилення випадкової величини ?, до модуля математичного сподівання називається коефіцієнтом варіації.
.
Для випадкової величини ?, квантилем рівня а (або ?-квантилем) називається величина ta, яка при заданому значенні довірчої ймовірності ? є коренем рівняння
.
Незалежність випадкових величин. Випадкові величини ? та ? називаються незалежними, якщо за відомим значенням величини ?, не можна зробити жодних висновків стосовно значення ?, і навпаки, значення ? ніяк не впливає на обізнаність із величиною ?. Формально випадкові величини ? та ? називаються незалежними, якщо при будь-яких значеннях а та b імовірність події р{?<а, ?< b} є добутком імовірностей подій р{?<а}та Р{?Якщо випадкові величини не задовольняють наведену щойно умову, то вони називаються залежними. Прикладом залежних випадкових величин є кількість позовів та сумарний розмір виплат. Відсутність позовів означає відсутність виплат. Нехай ?- кількість позовів (кількість виплат) у поточному році, ? - відповідна сума виплат у страховика. Нехай з імовірністю 10 % протягом року виплат у страховика немає Цей факт можна записати кількома способами:
Отже, Р{?<1, ?Р{?<1 грн}Р{?<1}. Це означає, що випадкові величини ? і ?, залежні. Незалежними випадковими величинами можуть вважатись, наприклад, кількості позовів з різних видів страхування.
Наведемо дві важливі властивості. Якщо випадкові величини ? та ? незалежні, то для них виконуються такі співвідношення:
Статистичні оцінки. Часто ми не маємо інформації про реальний розподіл випадкової величини ?, але маємо деяку сукупність спостережень, у результаті яких вона набуває значень х1, х2, х3, ..., хn. Ця сукупність значень називається вибіркою, а величини
і
відповідно вибірковим (емпіричним) середнім та незсуненою вибірковою (емпіричною) дисперсією. Вибіркове середнє використовують для оцінювання математичного сподівання:
,
незсунена вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії випадкової
величини:
Принципи обчислення тарифних ставок. В актуарній практиці використовуються найрізноманітніші методи обчислення тарифних ставок. Усі вони базуються на принципі еквівалентності фінансових зобов'язань страхувальника і страховика. Але парадокс полягає в тому, що не існує єдиного погляду на те, як тлумачити цей загальновизнаний принцип страхування. Розглянемо найпоширеніші підходи до трактування принципу еквівалентності.
Еквівалентність фінансових зобов'язань як еквівалентність сподіваних значень. Зобов'язання страхувальників полягають у сплаті страхових премій. Зобов'язання страховика оплачувати позови страхувальника. Нехай р означає суму зібраних страховиком премій, Х-сумарні виплати страховика. Природно вважати, що справедливою платою за ризик страховика є сподіване (середнє) значення випадкової величини X:
У такому вигляді принцип еквівалентності доволі часто вико-ристовується у страхуванні життя та деяких інших галузях масового страхування.
Еквівалентність зобов'язань з погляду теорії розорення.
Зобов'язання страхувальників мають безумовний характер. Купуючи поліс, страхувальник звільняє себе від ризику несподіваних витрат. Витрати страховика, навпаки, непередбачувані. Страховик бере на себе ризик, який полягає в тому, що його виплати будуть значно більші за М[Х]. Тому страховик вправі вимагати додаткової плати за можливі збитки - ризикову надбавку L, із цього погляду справджується співвідношення:
Постає запитання: якими мають бути розміри ризикової надбавки L та страхової премії р? Щоб відповісти на нього, доцільно звернутися до теорії розорення.
Факт розорення страховика описується співвідношенням U + р < X, де U - розмір власних коштів страховика. Відповідно ймовірність розорення дорівнює Р{U + р < X}.
Отже, якщо страховикнамагається досягнути ймовірності розорення ?, то він має забезпечити розмір страхових премій р таким, щоб виконувалося співвідношення: Р{U + р u(у) при х > у;
функція й задовольняє нерівність Єнсена М[u(х)]функція й задовольняє умову нульової корисності u(о)=0.
Функція корисності визначає ступінь важливості для страховика певних грошових сум. Вона має суб'єктивний характер, включаючи психологічний компонент.
За допомогою функції корисності принцип еквівалентності можна записати так:
Отже, сподівана корисність капіталу страховика після прийняття ризиків не повинна зменшитися порівняно з корисністю початкового капіталу. На практиці часто застосовують експоненціальну u(х)=1-е-ах та квадратичну u(х) = ах-х2 функції корисності.
Головна проблема при практичному використанні принципу еквівалентності в термінах теорії корисності - відшукання адекватної функції корисності.
Loading...

 
 

Цікаве