WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаІнформатика, Компютерні науки → Задачі нелінійного програмування. Деякі основні методи їх розв'язування та аналізу - Реферат

Задачі нелінійного програмування. Деякі основні методи їх розв'язування та аналізу - Реферат


Реферат на тему:
Задачі нелінійного програмування. Деякі основні методи їх розв'язування та аналізу.
План.
1. Метод множників Лагранжа.
2. Розв'язування задач з використанням методу множників Лагранжа.
3. Література
Метод множників Лагранжа
Щоб знайти рішення задачі методом множників Лагранжа, вводять набір змінних називаються множниками Лагранжа, вони складають функцію Лагранжа.
+ (1)
знаходять частинні похідні і і розглядають систему рівнянь.
(2)
з невідомими є Кожне рішення системи рівнянь (2) визначає точку яка може мати місце екстремум функції . Відповідно, розв'язавши систему рівнянь (2), одержимо всі точки, в яких функція може мати екстремальне значення. Далі дослідження знайдених точок проводяться так само, як у випадку безумовного екстремуму.
Таким чином, визначення екстремальних точок задачі методом множників Лагранжа включає наступні етапи:
1. Складають функцію Лагранжа.
2. Знаходять частинні похідні від функції Лагранжа по змінних і і прирівнюють їх до нуля.
3. розв'язуючи систему рівнянь (2), знаходять точки в яких цільова функція задачі може мати екстремум.
4. Серед точок, підозрілих на екстремум, знаходять такі, в які досягаєть екстремум, і вираховують значення функції в цих точках.
Задача 1.
По плану виробництва продукції підприємству необхідно виготовити 180 виробів. Ці вироби можуть бути виготовлені двома технологічними способами. При виготовленні виробів І способом витрати дорівнюють грн., а при виготовлені виробів ІІ способом вони складають грн. Визначити, скільки виробів кожним із способів потрібно виробити, щоб загальні затрати на виробництво продукції були мінімальними.
Розв'язання.
Математична постановка задачі полягає у визначенні мінімального значення функт
(3)
при умовах
(4)
(5)
Спочатку знайдемо рішення задачі, використовуючи її геометричну інтерпретацію. Областю допустимих значень вихідної задачі є відрізок прямої АВ (малюнок 1), а лінія рівня - округлості з центром в точці Е (-2;-4).
A
D
B
O
(Мал. 1)
Проводячи з точки Е округлості різних радіусів, бачимо, що мінімальне значення цільової функції приймається в точці D. Щоб знайти координати цієї точки, скористаємося тим, що кутовий коефіцієнт до округлості в точці D співпадає з кутовим коефіцієнтом прямої і, відповідно, дорівнює - 1. Розглядаючи як неявну функцію від і диференціюючи рівняння округлості, маємо
або
Прирівнявши одержаний вираз до числа - 1, одержимо одне із рівнянь для визначення координат точки D. Додаючи до нього рівняння прямої, на якій лежить точка D, маємо систему
звідки =91; =89. Це означає, що якщо підприємство виготовить 91 виріб І технологічним способом і 89 виробів, то загальні витрати будуть мінімальними і складуть 17278 грн.
Розв'яжемо тепер задачу, використовуючи метод множників Лагранжа. Знайдемо мінімальне значення функції (3) і при умові (4), тобто без врахування вимог невід'ємності змінних. Для цього складемо функцію Лагранжа
вирахуємо її частинні похідні по і прирівняємо їх до нуля.
Перенісши в праві частині перших двох рівнянь і прирівнявши їх ліві частини, одержимо
або
Розв'язуючи останнє рівняння разом з рівнянням , знаходимо і , тобто одержимо координати точки D, щозадовольняє умову (5). Ця точка є підозрюваною на екстремум. Використовуючи другі частинні похідні, можна показати, що в точці D функція f має умовний мінімум. Цей результат був одержаний вище
Слід помітити, що такий же результат ми одержимо і в тому випадку, якщо дослідження на умовний екстремум функції f зведемо до дослідження на безумовний екстремум функції , одержаний із f в результаті її перетворення. А саме: якщо із рівняння зв'язку (4) знайдемо і підставимо цей вираз в (3), то одержимо функцію однієї змінної :
Знайдемо стаціонарну точку цієї функції з рівняння , або , звідки Так само як і вище встановлюємо, що в даній точці функція f має мінімальне значення.
Задача 2.
Знайти точки екстремуми функції при умові .
Розв'язання.
Складемо функцію Лагранжа
знайдемо її в частині похідні по і прирівняємо їх до нуля.
В результаті одержимо систему рівнянь
(6)
Із першого і другого рівнянь маємо . Розв'язавши це рівняння разом з третім із системи (6), знаходимо . Таким чином, в точці (5/2;5/2) дана функція може мати умовний екстремум . Щоб визначити, чи досягається в цій точці умовний екстремум, потрібно провести додаткові дослідження. Використовуючи другі частинні похідні, можна показати, що в цій точці функція має умовний мінімум і .
Метод множників Лагранжа можна використовувати і в тому випадку, коли умови зв'язку являються нерівностями. Так, якщо потрібно знайти екстремум функції z=f(X) при умові g(X) b , то спочатку потрібно знайти точки безумовного екстремуму функції z=f(X) із рівнянь потім серед цих точок відібрати ті, координати яких задовольняють умову зв'язку g(X)Точки, знайдені в результаті розв'язання цієї системи, разом з точками, які визначені на першому етапі і задовольняють умову g(X)Знайти умовні екстремуми в задачах.
1) при умовах
2) при умовах
3) при умовах
4) при умовах
5) при умовах
Література.
1. Наконечний С.І., Савіна С.С. Математичне програмування: Навч. посіб. - К.:КНЕУ, 2003.- 452 с.
2. Барвінський А.Ф та ін. Математичне програмування: Навчальний посібник / А.Ф. Барвінський, І.Я. Олексів, З.І. Крупка, І.О. Бобик, І.І. Демків, Р.І. Квіт, В.В. Кісілевич - Львів: Національний університет "Львівська політехніка" (Інформаційно-видавничий центр "Інтелект+" Інститут післядипломної освіти) "Інтелект - Захід", 2004. - 448 с.
3. Акулич М.Л. Математичиское програмирование в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов экономических специальних вузов. - Вища школа, 1985-319с.,ст.270-274.
4. Вітлінський В.В., Наконечний С.І., Терещенко Т.О. Математичне програмування: Навч. - метод. посібник для самост. вивч. дисц. - К.: КНЕУ, 2001. - 248 с.
5. Математичне програмування (методичний посібник для студентів економічних спеціальностей)/Укладачі: Лавренчук В.П., Веренич І.І., Готинчан Т.І., Дронь В.С., Кондур О.С., - Чернівці: "Рута", 1998.-168 с.
Loading...

 
 

Цікаве