WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаІнформатика, Компютерні науки → Системи масового обслуговування - Реферат

Системи масового обслуговування - Реферат

стану до іншого являються Пуасоновськими, то для цих системи ймовірність стану описується за допомогою систем звичайних диференційних рівнянь. В більшості задач не прикладного характеру заміна неПуасоновського потоку подій Пуасоновським з тими ж інтенсивностями призводить до отримання рішення, котре мало відрізняються від істинного, а іноді і зовсім не відрізняється. В якості критерію відмінності реального стаціонарного потоку від Пуасоновського можна розглядати близькість математичного очікування числа дисперсій подій, що надходять на визначеній ділянці часу в реальному потоці.
Існує визначений математичний прийом, що значно полегшує вивід диференційного рівняння для ймовірностного стану. Спочатку будується розмічений граф стану з показом можливих переходів. Це полегшує дослідження та робить його більш наглядним. Граф стану, на котрому проставлені не тільки стрілки переходів, але й інтенсивністьвідповідних потоків подій називають розміченим.
Закреслимо розмічений граф стану одноканальної розімкнутої системи масового обслуговування з очікуванням:
........
.........
Якщо складений розмічений граф стану, то для побудови математичної моделі, тобто для складання системи звичайних диференційних рівнянь рекомендується використовувати наступні правила:
похідна ймовірності перебування системі у стані n дорівнює алгебраїчній сумі наступних величин: число величин цієї суми дорівнює числу стрілок на графі стану системи, що з'єднує стан n з іншими станами. Якщо стрілка направлена в стан n, то відповідна величина береться зі знаком "+" . Якщо стрілка направлена зі стану n - то зі знаком "-". Кожна величина суми дорівнює добутку ймовірностей того стану, з котрого направлена стрілка на інтенсивність потоку подій, що переводять систему по даній стрілці.
У відповідності з розміченим графом стану, використовуючи даний стан, запишемо систему звичайних диференційних рівнянь ймовірностей стану таким чином:
;
Дослідження математичної моделі
Обмежемся дослідженням режиму роботи що встановився замкнутої одноканальної системи. Тоді:
(n=0,1,...)
Дійсно, замість системи диференційних рівнянь отримуємо систему алгебраїчних рівнянь:
Використовуючи отриману систему алгебраїчних рівнянь легко виразити ймовірності стану системи у вигляді квадратної рекурентної формули . З першого рівняння визначається ймовірність присутності однієї вимоги в системі.
Із другого рівняння ймовірність присутності двох вимог в системі:
І в результаті отримуємо:
Аналогічно проводиться перетворення для
І врешті сумуємо отримані значення та знаходимо суму:
Використовуючи формулу геометричної прогресії отримуємо:
і при , сума:
Звідки ми маємо:
1) ймовірність простою каналу обслуговування:
2) знаходимо ймовірність того, що в системі знаходиться вимог:
3) середнє число вимог, що знаходяться в системі:
Остання дужка є похідною від наступного виразу:
,
тобто цей вираз дорівнює:
В результаті отримуємо:
4) Далі знаходимо середнє число вимог, що знаходяться в черзі:
5) Знаходимо середній час очікування вимоги в системі, котрий можливо визначити, знаючи середнє число вимог, що знаходяться в системі:
Задача аналізу замкнутої системи з очікуванням (потоки вимог Пуасоновські)
Постановка задачі:
Нехай досліджується деяка система масового обслуговування з обмеженою кількістю вимог в системі, тобто вимоги, що обслуговуються, знову повертаються в систему обслуговування. Інтенсивність надходження однієї вимоги в систему відома і дорівнює . Інтенсивність обслуговування також відома та дорівнює . Число вимог, що потребують обслуговування. дорівнює . Необхідно визначити основні характеристики системи, а саме - ймовірність того, що в системі є вимог - . Ймовірність простою каналу обслуговування - .Середнє число вимог, що знаходяться в черзі - . Середнє число вимог, що знаходяться в системі - . Середній час очікування в черзі - . Середній час очікування вимоги в системі - .
Стан системи будемо пов'язувати з числом вимог, що знаходяться в системі. При цьому можливі два стани:
1) число вимог, що поступили в систему, дорівнює нулю ,тобто канали обслуговування простоюють.
2) число вимог , що поступили в систему .
Закреслимо розмічений граф стану одноканальної замкнутої системи масового обслуговування з очікуванням:
Побудова математичної моделі
У відповідності до розміченого графа стану та використовуючи правило Колмагорова, запишемо систему диференційних рівнянь для ймовірності стану:
;
Обмежемся дослідженням режиму роботи системи, що встановився. Тоді:
,
і замість системи звичайних диференційних рівнянь ми отримуємо систему алгебраїчних рівнянь:
Для неважко отримати рекурентну формулу:
; при
; при
..........................................
;
Ймовірність того, що в системі знаходиться вимог, складе:
Використовуючи рівність:
можна отримати вираз для .
Ймовірність простою каналу обслуговування буде дорівнювати:
Середнє число вимог, що знаходяться в черзі, дорівнює:
Середній час очікування вимоги в черзі:
Середній час очікування вимоги в черзі:
.
Як можна помітити, визначення основних характеристик одноканальних систем масового обслуговування вимагає великої обчислювальної роботи, в зв'язку з чим всі розрахунки робляться на комп'ютері.
Задача аналізу багатоканальної системи масового обслуговування .
Задача аналізу розімкнутої системи з очікуванням ( потоки вимог Пуасоновські)
Постановка задачі: нехай відомі інтенсивність надходження потоку вимог в систему, та інтенсивність обслуговування цих вимог. Число каналів обслуговування , і необхідно визначити ймовірність того, що в системі знаходяться вимог , ймовірність простою каналів обслуговування , середнє число вимог, що знаходяться в черзі. Середній час очікування . Середнє число вільних каналів обслуговування.
В цій задачі можливі два

 
 

Цікаве

Загрузка...