WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаІнформатика, Компютерні науки → Робота з обєктами “Мій компютер”. Математичні потрійні інтеграли. Диференціали вищих порядків - Контрольна робота

Робота з обєктами “Мій компютер”. Математичні потрійні інтеграли. Диференціали вищих порядків - Контрольна робота

писати
Установимо тепер правило для обчислення такого інтеграла.
Будемо вважати, що область інтегрування має вид, зображений на мал. 1).
Опишемо біля і циліндричну поверхню з утворюючої, перпендикулярної до площини Оху. Вона стосується області уздовж деякої лінії L, що поділяє поверхню, що обмежує область, на двох частин: верхню і нижню. Рівнянням нижньої поверхні нехай буде , рівнянням верхньої .
Побудована циліндрична поверхня висікає з площини Оху плоску область D, що є ортогональною проекцією просторової області на площину Оху, при цьому лінія L проектується в границю області .
Будемо робити інтегрування спочатку по Напрямку осі Оz. Для цього функція інтегрується по ув'язненому у відрізку прямої, рівнобіжної осі Оz і минаючої через деяку крапку Р(х, у) області D (на мал. 1 відрізок ). При даних х и у перемінна інтегрування z буде змінюватися від - аппликати точки "входу" ( ) прямої в область , до - аппликати точки "виходу" ( ) прямої з області .
Результат інтегрування являє собою величину, що залежить від точки Р (х, у); позначимо її через F(х, у):
При інтегруванні х та у розглядаються тут як постійні.
Ми одержимо значення шуканого потрійного інтеграла, якщо візьмемо інтеграл від функції F(х, у) за умови, що точка Р(х, у) змінюється по області D, тобто якщо візьмемо подвійний інтеграл
Таким чином, потрійний інтеграл I може бути представлений у виді
Приводячи, далі, подвійний інтеграл по області D до повторного й інтегруючи спочатку по y, а потім по x, одержимо
(*)
де і - ординати точок "входу" в область D і "виходу" з її прямої (у площині Оху), а a і b - абсциси кінцевих точок інтервалу осі Ох, на який проектується область D.
Ми бачимо, що обчислення потрійного інтеграла по області виробляється, за допомогою трьох послідовних інтегруванні.
Формула (*) зберігається і для областей, що мають циліндричну форму, тобто обмежених циліндричною поверхнею з утворюючими, рівнобіжними осі Оz, а знизу і зверху поверхнями, рівняння яких відповідно і (мал. 2).
Рис.2.
Якщо областю інтегрування служить внутрішність паралелепіпеда з гранями, рівнобіжними координатним площинам (мал. 3), то межі інтегрування постійні в усіх трех.інтегралах :
У цьому випадку інтегрування можна робити в будь-якому порядку, межі інтегрування будуть при цьому зберігатися.
Якщо ж у загальному випадку змінювати порядок інтегрування ( тобто, скажемо, інтегрувати спочатку по напрямку осі Oy, а потім по області площини Oxz), то це приведе до зміни порядку інтегрування в потрійному інтегралі і до зміни меж інтегрування по кожної перемінній.
Рис.3 Рис.4
А) Приклад.
Обчислимо потрійний інтеграл
де - область, обмежена координатними площинами
і площиною (піраміда, зображена на мал.4).
Інтегрування по z відбувається від z=0 до Тому, позначаючи проекцію області на площину Oxy через D, одержимо
Розставимо тепер межі інтегрування по області D - трикутнику, рівняння сторін якого
3. Диференціали вищих порядків
Розглянемо на деякому проміжку функцію , яка на цьому проміжку має похідні до - го порядку включно. Тоді для такої функції в кожній точці проміжку існує диференціал
.
У подальшому диференціал називатимемо диференціалом першого порядку, або першим диференціалом від функції .
Диференціал першого порядку є функція від і отже, якщо функція є, в свою чергу диференційованою на проміжку , то вона (або, те саме, ) має диференціал. Цей диференціал називають диференціалом другого порядку, або другим диференціалом від функції , і позначають .
Отже, за означенням . Підставимо в цю рівність . Матимемо
.
Оскільки є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для диференціала другого порядку:
. (1)
Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема, якщо для функції уже означений диференціал - го порядку - й диференціал то диференціалом - го порядку, або - м диференціалом від функції називається диференціал першого порядку від диференціала - го порядку. Диференціал - го порядку визначається символом .
Отже, згідно з означенням
.
Використовуючи формулу диференціала першого порядку, можна вивести таку формулу для диференціала - го порядку:
(2)
Приклад. Знайти другий диференціал від функції .
Р о з в ' я з о к. Знаходимо похідні і :
,
Тоді
.
При розгляданні диференціала першого порядку була доведена його інваріантна властивість: форма диференціала не змінюється і в тому випадку, коли аргумент функції є, в свою чергу, деякою функцією від .
Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають. Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку.
Нехай маємо складну функцію , де функції і мають похідні за своїми аргументами до другого порядку включно. Тоді має диференціал ,
де - похідна за аргументом , а .
Знайдемо . Згідно з означенням
.
Оскільки диференціал першого порядку має інваріантну властивість, то
Остаточно дістанемо таку рівність:
. (3)
Порівнюючи формули, виводимо, що формула диференціала другого порядку змінюється. У формулі (3) є новий доданок , який у випадку не дорівнює нулю.
Якщо функція задана параметрично
то її друга похідна обчислюється за формулою
(4)
Список використаної літератури
1. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. - М.: ЮНИТИ, 1997.
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М. : Наука, 1985, - т.1. - 432 с.
3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М. : Наука, 1985. - т.2. - 576 с.
4. Рудницький В.Б., Кантемир І.І., Мацишин І.Р. Практичні заняття з курсу вищої математики. - Хмельницький, 1999. - ч.1. - 437 с.
Loading...

 
 

Цікаве