WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаІнформатика, Компютерні науки → Пошук, сортування та поняття складності - Реферат

Пошук, сортування та поняття складності - Реферат

елементів у такий спосіб прямо пропорційний n (n-1).
3. Поняття складності алгоритму та задачі
У цьому параграфі ми познайомимося з двома поняттями, які відіграють у програмуванні одну з ключових ролей. Цими поняттями є складність алгоритму та складність задачі. Почнемо з алгоритмів.
Нагадаємо, що алгоритм розв'язання масової задачі описує розв'язання будь-якого її екземпляра. Екземпляри багатьох задач можна охарактеризувати значенням деякого числового параметра. Наприклад, довжиною масиву чи кількістю чисел, які треба прочитати з клавіатури. Або натуральнимчислом, про яке ми хочемо дізнатися, чи просте воно. Найчастіше цим параметром є кількість скалярних значень, обробка яких задається алгоритмом. Кажуть, що екземпляр задачі має розмір N, якщо задається даними, складеними з N скалярних значень (наприклад, масивом із N елементів).
Нехай A позначає алгоритм розв'язання деякої масової задачі. Позначимо через F(A, екземпляр) кількість елементарних дій у процесі розв'язання цього екземпляра задачі за алгоритмом A, а через F(A, n) - максимум кількості елементарних дій серед усіх екземплярів розміру n.
Наприклад, якщо при бульбашковому сортуванні масив спочатку відсортований навпаки, то слідом за кожним порівнянням відбувається обмін. А це ще три присвоювання. Якщо нехтувати допоміжними операціями із змінами індексів, то
F(A, n)=4 n (n-1)/2.
Кожному n = 1, 2, 3, … відповідає певне значення F(A, n), тобто ми маємо функціональну залежність між розмірами n та максимальними кількостями елементарних дій, виконуваних за алгоритмом A. Ця функція називається складністю алгоритму A. Алгоритми практично всіх реальних задач мають складність, монотонно неспадну за n.
Аналітичне задання функції F(A, n) для реальних алгоритмів, як правило, неможливе й не потрібне. Велике практичне значення має так званий порядок зростання F(A,n) за n. Він задається за допомогою іншої функції з простим аналітичним виразом, яка є оцінкою для F(A, n).
Функція G(n) є оцінкою для функції F(n), або F(n) є функцією порядку G(n), коли існують такі додатні скінченні числа C1 і C2, що за деякого m при всіх n > m
C1 G(n) F(n) C2 G(n).
Така залежність між функціями позначається за допомогою знака "О":
F(n) = O(G(n)).
Для задання порядку зростання інколи користуються іншим означенням: функція F(n) називається функцією порядку G(n) за великих n, якщо , де C>0, C 2 маємо
0.5 n2 < n*(n-1) m + s - 1 then
begin X[k] := Y[j]; j := j + 1 end else
if j > mr + r - 1 then
begin X[k] := Y[i]; i := i + 1 end else
if Y[i] < Y[j] then
begin X[k] := Y[i]; i := i + 1 end else
begin X[k] := Y[j]; j := j + 1 end
end
Тепер розглянемо сортування масиву A злиттям. На першому кроці елементи A[1], … , A[n] копіюються в допоміжний масив B[1], … , B[n]. Його елементи розглядаються парами B[1] і B[2], B[3] і B[4] тощо як упорядковані послідовності довжиною lp = 1 і зливаються за допомогою процедури mrg в масив A. Тепер там є впорядковані ділянки довжиною 2. За непарного n останній елемент A[n] залишається без змін як послідовність довжиною 1.
На наступному кроці після копіювання в масив B зливаються пари упорядкованих ділянок B[1]B[2] і B[3]B[4], B[5]B[6] і B[7]B[8] тощо. З'являються впорядковані ділянки довжиною 4. Нехай t=nmod4 - довжина залишку масиву після останньої повної четвірки елементів. При t=1 або t=2 останні t елементів утворюють упорядковану ділянку після попереднього кроку. При t=3 зливаються упорядкована пара B[n-1]B[n-2] та ділянка B[n] у ділянку довжиною t.
Кроки повторюються з подвоєнням довжин упорядкованих ділянок lp, поки lp < n.
Розглянемо сортування злиттям масиву довжини n=11. Упорядковані послідовності в ньому вказуються в дужках , а пари таких, що зливаються, відокремлені ";":
< ; ; ; ; ; >, lp=1
< ; ; >, lp=2
< ; >, lp=4
< >, lp=8
, lp=16, lp n.
Як бачимо, нам знадобилося 4 кроки злиття для того, щоб одержати впорядований масив.
За дії означень (17.1) такий спосіб сортування описується процедурою Mrgsort:
procedure Mrgsort (var A : ArT; n : Indx);
var B : ArT; lp, npp, cpp, bpp, tl : integer;
begin
lp := 1;
while lp lp then
mrg ( B, n - tl + 1, lp, tl - lp, A );
{ за tl = n : масив упорядковано на останньому кроці }
end
Очевидно, що після k-го кроку впорядковані ділянки мають довжину lp=2k. Якщо 2k=n, то масив упорядковано. Якщо 2k>n, але 2k-1 n/2, npp = 0, tl = n > lp,
і злиття ділянки довжиною lp та залишку довжиною n-lp дає впорядкований масив.
Оцінимо складність наведеного алгоритму. При кожному виконанні тіла циклу while значення всіх елементів масиву копіюються в допоміжний масив і назад по одному разу, тобто виконується O(n) елементарних дій. Після останнього k-го кроку 2k<2n, тобто k=r then exit;
m:=(l+r) div 2;
Mrgrec(A, B, l, m); Mrgrec(A, B, m+1,r);
mrg(A, l, m-l+1, r-m, B);
for k:=l to r do A[k]:=B[k];
end;
Ця процедура набагато коротше нерекурсивної процедури Merges, але виконання її довше. Власне сортування починається лише після повернення з викликів, у яких l=r, а це практично "середина дистанції".
Завершуючи описання сортування злиттям, скажемо, що цей алгоритм є першим із ефективних алгоритмів сортування. У 1945 році його винайшов Джон фон Нейман, один із піонерів програмування.
Серйозним недоліком цього алгоритму є необхідність додаткового масиву такої ж довжини, як і в основного. За великих довжин можлива ситуація, коли на один масив пам'яті вистачає, а на два - ні. Розглянемо два алгоритми, позбавлені цього недоліку.
4.2. Піраміда, вона ж дерево
Уявіть собі, що ми розташували елементи масиву рядками, щоразу подвоюючи їх кількість: у першому рядку - перший елемент, у другому - елементи з індексами 2, 3, у наступному - 4, 5, 6, 7, далі 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 тощо. Останній рядок може виявитися неповним. Наприклад, за кількості елементів n=12 маємо таку піраміду індексів:
1
2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12
Елементи цієї піраміди будемо називати вузлами.
Між вузлами проведемо стрілки: від 1 - до 2 та 3, від 2 - до 4 та 5, від 3 - до 6 та 7 тощо, тобто від кожного вузла k до 2k та 2k+1, де k
  • <<
  • Перша Попередня 1 2 3 4 Наступна Остання
  • >>
  • Loading...

     
     

    Цікаве