WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаІнформатика, Компютерні науки → Економіко – математичне моделювання - Курсова робота

Економіко – математичне моделювання - Курсова робота

вивчення рядів (насправді, кінцевих ідемпотентних поліномів) за системою характерів кінцевої циклічної групи.
На базі наступної допоміжної леми здійснено зведення метричних задач до вивчення властивостей ідемпотентних поліномів, які можна також потрактувати як тригонометричні суми або їх аналог за системою Уолша.
Лема. Хай функція . Якщо, то існує постійна С > 0 така, що для будь-якої вимірної множини , . Назад, якщо існує постійна С > 0 така, що для будь-якої вимірної множини , для деякого ? > 0, то функція , при будь-кому р, 0 < р 0 така, що для будь-якої вимірної множини , .
Доведення: Хай , , тоді:
.
і в одну сторону затвердження леми доведено.
Хай тепер для будь-якої вимірної множини Е, , і деякого . Хай , .
Якщо f(x) - дійснозначна функція, то:
.
Якщо f(x) = u(x)+iv(x), то:
; ;
і значить:
.
Нехай ,
k=1,2, ..., і хай , р>0, рk0, тобто у разі, коли функція f(x) істотно обмежена, і лема повністю доведена.
Теорема 1. Якщо послідовність цілих чисел
то існує постійна , така, що для будь-кого натурального числа р і будь-якого полінома , де або ,
справедлива нерівність:
(3)
Назад, якщо для послідовності {nk} існує постійна С > 0, така, що для будь-кого натурального р і для будь-якого полінома , або , , справедлива оцінка (3), то послідовність для любого .
Доведення: Доведемо спочатку необхідність.
Хай:
де
Утворюємо множину Е на відрізку [0,2?] таким чином:
Оцінимо інтеграл по множині Е від функції , де коефіцієнти ak підберемо пізніше:
тобто:
(4)
Хай тепер f(x)вибрана так, що:
(5)
Тоді в силу (4) маємо:
(6)
Оскільки , то існує постійна , така, що:
(7)
З другого боку, зважаючи на нерівність маємо в силу (6)
(8)
Зіставляючи (7) і (8), одержуємо:
і нерівність (З) доведена з постійною:
Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {nk} справедлива нерівність (3) всякий раз, коли число р і поліном R(x) вибрано в відповідності з умовою теореми. Доведемо, що всяка функція:
належатиме і простору для будь-яке ? (0,2 + ?), звідси і витікатиме, що послідовність при будь-яке .
Хай спочатку f(x) - поліном і хай:
(9)
З рівності (4) виходить, що:
(10)
Використовуючи (3) і (10), маємо:
(11)
Нерівність (11), будучи виконано для фіксованої функції
і всіх простих множин Е з достатньо дрібними становлячими інтервалами, очевидно, буде виконано для цієї ж функції і для будь-яких вимірних множин Е на відрізку [0,2л]. Але тоді нерівність
(11) буде виконано і для будь-яких функцій f(x) вигляду
і будь-яких вимірних множин Е. По лемі [*=1 для будь-яких , і теорема 1 повністю доведена.
Теорема 2. Хай , ?>0 за системою Уолша, тоді існує постійна С>0, така, що для будь-кого натурального р = 2n і будь-якого полінома:
справедлива нерівність:
(12)
Назад, якщо для послідовності {nk} існує постійна С > 0, така, що для будь-кого натурального р = 2n і будь-якого полінома:
справедлива оцінка (12), то послідовність для будь-кого ?, .
Доведення. Доведемо спочатку необхідність.
Хай:
Утворюємо множину:
Хай далі:
Оцінимо , тоді:
(13)
Помітимо тепер, що на інтервалі цифри х в двійковому розкладанні до номера n співпадають з відповідними цифрами у числа , якщо не допускати в двійковому розкладанні нескінченних послідовностей одиниць.
Хай:
Тоді, як відомо:
якщо Тому:
і в силу (13):
(14)
Якщо у визначенні функції f(х) покласти:
то нерівності (13) і (14) звернуться в рівність.
Для такої функції маємо в силу (14) і умови теореми:
звідки:
або:
що і доводить необхідність теореми.
Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {nk} справедлива нерівність (12) при будь-кому р=2n і поліномі:
або
Тоді для полінома:
і множини:
справедлива оцінка (14), тобто:
(15)
Через умову теореми права частина нерівності (15) не перевершує величини:
тобто:
(16)
Оцінка (16), будучи справедлива для простих множин Е з умовою , розповсюджується для фіксованого полінома f(х) і на довільні вимірювання множини , а, отже, і на довільні функції
з умовою . Через лему нерівність (16) тягне за собою
умова при всіх , тобто при
всіх .
Теорема повністю доведена.
Наступні два кількісні результати торкаються густини лакунарних послідовностей Уолша і розподілу значень іденпотентних поліномів (терезів лінійних кодів). Ці оцінки представляють як самостійний інтерес (перша з них значно усилює аналогічний результат А. Бонами так і можуть мати додаток в загальній математичній теорії кодування Л передачі інформації.
Теорема 3. Хай Еn n-мірне лінійний простір над полем з двох елементів. - пряма сума двох екземплярів цього простору, яке ми потрактуємо так само, як безліч всіх пар (а, b), де а, b - елементи Еn.
Тоді безліч U всіх пар вигляду (а, а-1), де і символом а-1 позначений елемент, зворотний до елемента а в полі Еn має потужність 2n-1, лежить в лінійному просторі W2n потужності 22n. Іншими словами, множина U є щільним B2 (або (4)) множиною в тому значенні, що на ньому досягається верхня грань густини В3-последовательностей.
Доведення. Допустимо осоружне, тоді знайдуться такі 4 різний елемента а, b, c, d з U, що:
Остання система еквівалентна системі:
а + b = c + d, a-l + b-1 = с-1 + d-1.
що рівносильне:
а + b = c + d, ab = cd
яка, як неважко бачити, може мати не більше одного рішення (з точністю до перестановки). Дійсно, останнє твердження рівносильне тверждення про те, що рівняння х(х + k) = r має не більше двох різних розв'язків по х для х, k, r з Еn. Покажемо це. Хай є інше рішення у: у(у + k) =r.
Тоді , звідки , тобто , звідки або x = у, або у = х + k ( нагадаємо, що En - поле характеристики 2).Тим самим теорема 3 повністю доведена.
Справедлива
Теорема 4. Хай на En заданий ідемпотентний поліном Уолша:
Хай з En такі, що все rj, незалежні і , . Тоді:
де
Доказ. Без обмеження спільності можна вважати, що все {rj} утворюють стандартний базис в Еt (загальний випадок зводиться до цього лінійним перетворенням Et). Тоді на підпросторі Et, поліном R(x) запишеться у вигляді:
де dj, - цілі ненегативні числа, в сумі даючі s. Легко бачити, що шукана сума квадратів значень полінома R(x) на підпросторі Еt, рівна .
Оцінимо знизу суму . Оскільки значення полінома R(x) на векторах Et
рівні ?s, те, як вже наголошувалося, ідемпотентному поліному R(x) на підпросторі Е, відповідатиме двійковий код з 2t стовпців і із загальним числом кодових слів 2t, причому базисні кодові слова складаються з ,одиниць
і мінус одиниць в мультиплікативному записі двійкового коду.
Ми маємо
Loading...

 
 

Цікаве