WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаІнформатика, Компютерні науки → Програма Maple і застосування її до звичайних диференціальних рівнянь - Курсова робота

Програма Maple і застосування її до звичайних диференціальних рівнянь - Курсова робота

горизонталі/вертикалі
Розприділити значки
Закрити всі документи/закрити всі довідки
По команді Закрити всі Maple поцікавиться про збереження тих документів, зміни в яких були записані.
2.Знаходженняпохідної функції і інтеграла за допомогою системи Maple.
Знаходження похідної функції expr по змінній x реалізовується за допомогою команд diff (expr, x) або Diff (expr, x). Ці команди можна застосовувати також для знаходження частинних похідних функцій багатьох змінних. В цьому випадку використовують такий формат команди:
Diff (expr, x1$n1, x2$n2,…). Тут expr - функція, яка залежить від змінних x1, x2, …, а n1, n2,… - порядки похідних по відповідним змінним.
Наведемо приклад:
>Diff( :
%=simplify(value(%));
>u:= z^(x*y):diff (u, x) : diff (u, y) : diff (u, z);
>factor (diff (u , z$4) );
Якщо правило диференціювання функції невідоме, або одна із змінних неявно залежить від другої, то в результаті будуть зберігатися символи диференціювання. Наприклад:
>alias(y = y(x)):diff(x^2 + y^2 = g(x), x);
+
Для задання диференціального оператора використовується символ D. Диференціальний оператор D застосовується в тих випадках, коли шукається похідна функції, а не виразу і результатом дії оператора буде також функція. Приклад:
Аналогічний результат можна отримати, використовуючи команду unapply (giff (g(x), x, x) ).
Для знаходження частинних похідних функції декількох змінних використовується звернення до оператора D з індексами, які вказують, по якому аргументу диференціювати.
Наприклад, обчислення оператора Лапласа L функції h буде виглядати так:
Перейдемо до знаходження інтеграла від функції. Для того, щоб знайти невизначений інтеграл використовується команда: int (expr, var), де expr - функція, яка інтегрується, var - змінна інтегрування.
Приклад:
Для обчислення визначених інтегралів використовується команда int (expr, var = a..b), де expr, функція, яка інтегрується, var - змінна інтегрування, а (a, b) - відрізок інтегрування.
Кінці цього відрізка можуть набувати значення . Щоб обчислити подвійний, потрійний і т.д. інтеграл, цю команду потрібно застосувати кілька разів.
Приклад:
Знайдемо повторний інтеграл:
Якщо інтеграл не виражається через елементарні функції, то інколи відповідь можна виразити через елементарні функції, використовуючи додаткові умови на параметри і змінні (команда assume).
Приклад:
Definiti integration : Can't determine if the integral is convergent.
Need to know the sign of c
Will now try indefinite integration and then take limits.
Якщо інтеграл не обчислюється аналітично і підінтегральна функція не містить невизначених параметрів, то його можна обрахувати чисельно.
Для цього використовується команда:
Тут обов'язковими параметрами є підінтегральна функція expr, яка залежить тільки від змінної x і меж інтегрування a і b, а необов'язковими - число значущих цифр digits і flag - код числового методу.
Приклад:
- інтегральний косинус, а - константа Каталана.
3.Аналітичний розв'язок звичайних ДР.
Розглянемо приклад задання ДР і звернемося до команди dsolve.
Команда dsolve має такий формат:
Dsolve (рівняння, невідомі [опції]; параметром "рівняння" задається одне ДР або невідомі функції системи диференціальних рівнянь, які як і самі рівняння системи, повинні бути представлені в вигляді множини. Необов'язковий параметр - "опції", який задає методи і форму представлення розв'язку. Для того, щоб задати похідну функції в ДР можна використати команду diff ( ) або оператор D, причому саму невідому функцію потрібно визначати з вказанням незалежної змінної, наприклад y(x). З командою diff ( ) ми уже знайомі.
Якщо неповне задання рівняння (відсутній знак рівності), то система Maple доповнює рівняння нульовою правою частиною:
Розв'язок лінійного рівняння 2-го порядку знайдемо у вигляді суми експонент з довільними сталими.
Рзглянемо для цього рівняння задачу Коші:
Зауважимо, що змінна ic має тип exprsed (послідовність виразів). Її об'єднання з рівнянням de взято в фігурні дужки для того, щоб оформити вираз типу Set (множина). Якщо змінну ic зразу визначити, як множину, то перший аргумент команди dsolve повинен бути оформлений як сума множин. Для цього потрібно взяти de у фігурні дужки і застосувати спеціальну операцію об'єднання (union). Знайдемо розв'язок крайової задачі. Для цього задамо крайові умови в вигляді множин і звернемося до команди dsolve:
В Maple 6 можна проглядати хід розв'язання при використанні dsolve. Для цього потрібно використати команду:
>infolevel [dsolve]:=3;
infolevel :=3
В результаті для лінійного диференціального рівняння 5-го порядку з сталими коефіцієнтами маємо:
>de:= (D 5)(y)(x)-(D 3)(y)(x) + a*D(y)(x)-a*y(x): dsolve(de);
de:=(D )(y)(x) - (D )(y)(x) + aD(y)(x) - ay(x)
Methods for high order ODEs:
Trying to isolate the derivative d^5y/dx^5…
Successful isolation of d^5y/dx^5
->Trying classification methods
Trying a quadrature
Trying high order axact linearfully integrable
Trying constant coefficients
Linear constant coefficient successful
Відповідь містить структуру RootOf, причому, в якості індекса виступає змінна _а. Функція RootOf появляється, коли для диференціального рівняння не вдається факторизувати характеристичний поліном.
Для того, щоб перевірити, чи знайдені розв'язки SOL задовольняють рівняння чи систему ODE, використовують функцію odetest:
odetest (SOL, ODE)
Наприклад, для лінійного диференціального рівняння п'ятого порядку з сталими коефіцієнтами, яке розглядали вище отримаємо:
>odetest (%,de);
0
Якщо після підстановки розв'язку в рівняння чи систему рівнянь 0 не отримали, то можна перетворити відповідь, використовуючи команди combine, expand і інші.
4.Розв'язання задачі Коші для ДР в системі Maple.
Розв'язання задачі Коші в системі Maple таке ж просте, як і відшукання загального чи наближеного розв'язку. Для цього слід задати перший параметр команди dsolve ( ) в вигляд множини. Елементами якої є саме рівняння і всі початкові умови. Розв'яжемо задачу Коші і крайову задачу для наступного диференціального рівняння 2-го порядку:
>eqn1:=diff(y(x1,x$2)+k^2*y(x)=0;
eqn1:=
Задача Коші для цього рівняння потребує задання в нульовій точці значення невідомої функції і її першої похідної:
>dsolve ( {eqn1, y(0) = 0, D(y)(0) = 1, y (x) );
Початкові умови задаються у вигляді рівнянь, в лівій частині яких міститься параметр(значення невідомої функції чи похідної певного порядку) в відповідній точці, а в правій частині - значення цього параметру. Звернемо увагу на те, що при заданні похідних в початкових умовах, потрібно використовувати оператор D -
Loading...

 
 

Цікаве