WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаІнформатика, Компютерні науки → Обчислення визначеного інтеграла функції F(x) на відрізку [А,В] за формулою Сімпсона - Курсова робота

Обчислення визначеного інтеграла функції F(x) на відрізку [А,В] за формулою Сімпсона - Курсова робота

Сімпсона, або формула парабол із залишковим членом. Вона точна для многочлена третьго степеня, бо похідна четвертого від такого многчлена дорівнює нулю. З формули (6.31) легко знайти таку оцінку для абсолютної похибки чисельного інтегрування за формулою Сімпсона :
Якщо треба обчислити з достатньою точністю, то відрізок [a,b] ділять на 2n рівних відрізків завдовжки і до кожного з відрізків [X2k;X2k+2] (k=0,1,..., n-1) застосовують формулу Сімпсона (6.32).
Тоді де
Оскільки f''''( k)=f''''(
Таким чином дістаємо узагальнену формулу Сімпсона (парабол) із залишковим членом вигляду:
Залишковий член узагальненої формули Сімпсона
Звідси дістаємо таку оцінку абсолютної похибки чисельного інтегрування за узагальненою формулою Сімпсона :
Якщо наближене значення інтеграла треба обчислити з точністю >0, відповідний крок інтегрування h визначається нерівністю
,
або, що те саме, відрізок [a;b] треба поділити на n рівних частин де
За узагальненою формулою Сімпсона обчислимо наближене значення інтеграла (6.19) з кроком n=0,1 і оцінимо повну абсолютну похибку 1.
Користуючись таблицею 6.1, за формулою (6.33) знайдемо :
Ісм=0,38177448 0,381745
Щоб оцінити залишковий член R(f) формули Сімпсона за формулою (6.35), треба знайти похідну четвертого порядку від функціїf(x)=xcosx, маємо
f''''(x)=4sinx+xcosx, звідси
Тому для залишкового члена R(f) за формулою (6.35) (a=0, b=1, h=0,1, M4=5) дістанемо
Похибка остаточного округлення ^(-7), а неусувна похибка f f бо , а значення підінтегральної функції f у вузлах Xk (k=0,1,...10) обчислювали з точністю 0,5*10^(-7), тобто f=0,5*10^(-7).
За формулою (6.3) для повної абсолютної похибки чисельного інтегрування функції f(x)=xcosx знаходимо таку оцінку :
=0,278*10^(-5)+0,5*10^(-7)+0,2*10^(-7)=0,285*10^(-5)0, досить скористатись формулою (6.36). Звичайно, всі проміжні обчислення при цьому слід проводити з точністю, більшою за E. Наприклад, щоб обчислити наближене значення інтеграла (6.19) з точністю E=0,5*10^(-4), треба відрізок [0;1] поділити не меньш як на три рівні частини, бо за формулою (6.36) ( а=0, в=1, М4=5 ) маємо
Обчислимо інтеграл (6.19) за формулою (6.33), поклавши n = 2, 4, 8, 16. Знайдемо І2 = 0,38182200; І4=0,38177633; І8=0,381773333. А це означає, що І2 має три, І4 - п'ять, І8 - шість правильних значущих десяткових цифр. В І16 - всі 8 цифр правильні.
2. Метод Сімпсона.
Власне значення інтеграла
можна знайти методом Сімпсона (парабол). Для цього відрізок [a,b] розбивається на n=2m частин h n В з кроком h=(b-a)/n (1)
У точках Хі обчислюють значення функції У1=f(Xi) і знаходять наближене значення інтеграла за формулою Сімпсона S = Sn + Rn
де
Далі кількість точок розбиття подвоюється і здійснюється оцінка точності обчислень
Якщо , то кількість точок розбиття знову подвоюється. При цьому значення суми 2*(у1+у2+...+у2m-1) у попередніх точках розбиття зберігається, тому для обчислення інтеграла при подвоєнні кількості точок розбиття треба обчислювати значення у(х) лише в нових точках.
4.ДОДАТКИ :
4.1.Додаток 1: Структура програми.
У даній програмі використовуються змінні :
а, в - межі інтегрування;
е - точність;
х - аргумент функції f(x);
h - крок;
S, S1, S2, S3 -робочі змінні;
x1=xi+h.
Контрольний приклад.
Інтеграл
Функція ff(x) має вигляд :
Function ff( x:Real ):Real;
Begin ff:=exp(x) END;
Структура програми
1-2 - заголовок функції та опис локальних змінних;
4-11 - обчислення за формулами (2) і (3)
Програма. Інтеграл за Сімпсоном.
FUNCTION FF(X:REAL):REAL;
BEGIN FF:=EXP(X) END;
FUNCTION Simpson(a,b,e:real):real;
var h,S,S1,S2,S3,X,X1:REAL;
BEGIN
S2:=1E+30;H:=B-A;S:=FF(A)+FF(B);
REPEAT
S3:=S2;H:=H/2;S1:=0;X1:=A+H;
WHILE(X1>B)=(H<0) DO
BEGIN S1:=S1+2*FF(X1);X1:=X1+2*H;
END;
S:=S+S1;S2:=(S+S1)*H/3;X:=ABS(S3-S2)/15
UNTIL XSIMPSON:=S2; END;
4.2.Додаток 2. : Узагальнення проекту.
На даний момент існує досить багато різних методів в математичній галузі чисельного інтегрування функцій. До найвідоміших методів відносяться :
а) Квадратурні формули Ньютона-Котеса;
б) Формула прямокутників;
в) Формула трапецій;
г) Метод обчислення інтеграла за Ромбергом;
Звичайно до цих методів на перше місце слід віднести обчислення визначеного інтеграла функції f(x) на відрізку [a, b] за формулою Сімпсона а також інтегрування методом Сімпсона з оцінкою точності. Метод Сімпсона вираховує надзвичайно точне обчислення інтеграла функції. Звичайно обчислювати методом Сімпсона такі інтеграли вручну дуже довго, тому для цього і існує така дисципліна, як "Алгоритмічні мови програмування"
5.Висновок.
Отже в даній темі курсової роботи "Обчислення визначеного інтегралу функцій f(x) на відрізку [a, b] за формулою Сімпсона" показано можливість розв'язання інтегралу за формулою Сімпсона, а також інтегрування методом Сімпсона з оцінкою точності.
6.Література.
6.1. Я.М.Григоренко, Н.Д.Панкратова. "Обчислювальні методи в задачах прикладної математики"
К. "Либідь" 1995
6.2.І.П.Гаврилюк, В.Л.Макаров. .."Методи обчислень". (У двох частинах)
К. "Вища школа" 1995.
6.3.."Методи обчислень". Практикум на ЕОМ.
К. "Вища школа" 1995.
6.4.Я.Т.Гринчишин. "Чисельні методи в фізиці та математиці".
Тернопіль, 1994.
6.5.Ю.П.Боглаев. "Вычислительная математика и программирование".
М. "Высшая школа", 1990.
Loading...

 
 

Цікаве