WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаГеографія фізична, Геоморфологія, Геологія → Шпаргалки з топології - Шпаргалка

Шпаргалки з топології - Шпаргалка

1) Симетричний поверхні відносно площин хОz, yOz, осі z.

2) z≥0

3) (0;0;0)-єдина точка перетину поверхні з осями

4) -параболи однієї форми, вітки повернуті вгору, вершина піднімається при зростанні .

Аналогічно y=p.

Конус. Властивості.

1) Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин, початку координат.

2) (0;0;0)-єдина точка перетину з осями

3)-гіпербола, при ; при p=0-дві прямі.

4)- еліпси, півосі зростають, при зростанні .

2 .Пряма на площині. Площина і пряма в просторі. Взаємне розміщення площин, прямих і площин в просторі.

Нехай пряма (на площині чи в просторі) проходить через задану точку паралельно заданому ненульовому в-ру , який наз. напрямним в-ром прямої. Точка і її напрямний ве-р цілком визначають пряму, паралельно в-ру . Складемо р-ня цієї прямої. Позначимо через довільну точку прямої і розглянемо радіуси-вектори та точок та і в-р , що лежить на даній прямій. Оскільки в-ри = і колінеарні, то =, звідки (1)–векторне параметричне р-ня прямої. Якщо пряма задається т. та напрямним в-ром , то, прирівнюючи відповідні координати векторів та за ф-лою (1), маємо: –параметричні р-ня прямої, звідки канонічне рня. Якщо пряма не , то р-ня (3) можна записати: або . Позначимо , тоді (4)–р-ня прямої, яка проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт.(5)–р-ня прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки , дістанемо з р-ня прямої, що проходить через точку і має напрямний вектор (6). Якщо пряма проходить через точки , тобто відтинає на осях відрізки та , то (7)–р-ня прямої у відрізках на осях. Розглянемо р-ня прямої, яка проходить через задану точку перпендикулярно до заданого ненульового вектора нормальний в-р прямої. (8)–р-ня прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого в-ра. Загальне р-ня прямої . Це р-ня I-го степеня. Чи всяке р-ня (*) задає пряму? Нехай – розв'язок р-ня (*).. (*)–(**). Нехай ||, де – деяка пряма(). Отримаємо колінеарні. пряма проходить через початок координат; вісь ; вісь ; отже ; отже .

Кут між двома прямими. а) Нехай прямі задано канонічними рівняннями: і –кут між цими прямими, .Оскільки в-ри і є напрямними в-рами даних прямих і , тоді маємо

(1). Якщо ||, то ||, тому їх координати пропорційні, тобто –умова паралельності двох прямих. Якщо , то і їхній скалярний добуток = нулю, отже, умова перпендикулярності двох прямих. б) Нехай прямі задано загальними р-ми: , тоді кут між ними = куту між їхніми нормальними векторами , тому ; – умова паралельності прямих ; – умова перпендикулярності прямих . в) Нехай прямі задані р-ми з кутовими коефіцієнтами , де – кутові коефіцієнти.

Отже, .Умовою паралельності двох прямих є , а перпендикулярності – або Нехай задано пряму р-ням і т. . Відстань від точки від прямої дорівнює: (–напрям нормального вектора): .

Різні способи задання площини в просторі. Нехай задано т., вектори –біжуча точка. компланарнімішаний добуток або р-ня площини, яка проходить через т. . Загальне р-ня площини– . Р-ня площини, що проходить через три точки:

(1)(3). р-ня площини у відрізках на осях. Р-ня площини, що проходить через дану точку в-ру(напряму): , . Задані дві площини , нормальні в-ри: . Отже, . Умова площин – . Умова || площин – . Відстань від точки від площини (П): знах. за ф-лою . Нехай площина П і пряма задані р-ми: і . кут між нормальним в-ром площини П і напрямним в-ром прямої . Кут між прямою і площиною: . Якщо || П, то , тому , тобто – умова паралельності прямої і площини. Якщо П, ||, тому умова перпендикулярності прямої і площини.

1 Алгебра в-рів. Поняття базису на площині і в просторі. Скаляр., вектор. та мішан. д-ки в-рів.

Будь-яка упорядкована пара точок і простору визначає напрямлений відрізок, або в-р, тобто відрізок, що має певну довжину і напрям. Відстань між початком вектора і його кінцем називається довжиною (або модулем) в-ра і позначається || або ||. ||=1–одиничний в-р або орт. В-р, початок якого збігається з кінцем, наз. нульовим. В-ри і наз. колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. В-ри і наз. рівними, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і мають рівні довжини. Два в-ри наз. протилежними, якщо вони колінеарні, довжини їх однакові, а напрями протилежні. Три в-ри наз. компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах.

Лінійні дії над векторами:1)Додавання в-рів. Сума + двох векторів і за означенням є вектор , напрямлений з поч. в-ра в кінець в-ра за умови, що початок в-ра збігається з кінцем в-ра (правило три-ка); 2) Віднімання в-рів визначається як дія, обернена додаванню. Різницею – наз. в-р , який будучи доданий до вектора , дає в-р ; 3)Добутком в-ра на число наз. в-р , що: 1) ||=||||; 2) ↑↑, якщо >0; ↑↓, якщо <0.

Властивості: 1) +=+(комутативність додавання); 2) (+)+=(+)+(асоціативність відносно додавання в-рів або сполучність); 3) +=(–нульовий вектор); 4) +(-)=; 5) ; 6) (-1)=- ; 7) =; 8) (розподільний закон відносно числового множника); 9) (розподільний закон відносно векторного множ-ка).

Лінійна залежність та незалежність в-рів. . Кажуть, що в-ри наз. лінійно незалежними, якщо рівність (*) виконується тільки при нульових коефіцієнтах. Якщо рівність (*) можлива і при деяких не нульових коефіцієнтах, то в-ри наз. лінійно залежними.

Т.1. В-ри – лін. зал. тоді і тільки тоді, коли один з них є лінійною комбінацією інших.

Необхідність. Нехай –лін. зал. Це означає, що і , отже є лінійною комбінацією інших.

Достатність. Нехай . Отже, в-ри –лін. зал.

Т.2. Якщо с-ма в-рів містить лін. зал. підсистему, то вона лін. зал.

Т.3. Два в-ри лін. зал. тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Необхідність. Якщо і –лін. зал. : якщо >0↑↑, якщо <0 ↑↓.

Достатність. Якщо і – колінеарні і не дорівнюють нулю, тоді і –лін. зал. ("–", якщо ↑↑, "+", якщо ↑↓).

Т.4. Якщо с-ма в-рів містить нуль-вектор (), то вона лін. зал.

=; ().

Множину геометричних векторів наз. векторним простором, якщо вона замкнута відносно операції додавання, віднімання, множення в-рів на число. Замкнута–дані операції не виводять за межі даної множини.

Впорядкована множина в-рів наз. базисом векторного простору, якщо: 1) дані в-ри лін. незалежні; 2) будь-який в-р векторного простору виражається через дані в-ри.

Базисом на прямій наз. довільний ненульовий в-р на цій прямій. Базисом на площині наз. довільна упорядкована пара не колінеарних в-рів, а базисом у просторі– довільна упорядкована трійка некомпланарних в-рів. В-ри, що складають базис, наз. базисними.

Скалярним добутком(СД) в-рів і наз. число ||||(1), де кут між в-рами і . Ця величина є скаляр і має деякі алгебраїчні вл-сті звичайного добутку чисел. Розглянемо вл-сті СД: 1) (комутативна вл-сть множення). Дов. За означенням СД =||||і ||||. Оскільки ||||=|||| як добуток чисел і =, тому що =, то . Доведено першу вл-сть.; 2) ; 3) (), .; 4) –гострий, –тупий; 5) =(скалярний квадрат)= ||||||, ||=; 6) пр; 7) ()(асоціативна вл-сть множення на число ). Дов. ()||пр||пр.; 8) (дистрибутивна вл-сть відносно додавання в-рів). Дов. ||пр||пр||пр.

Векторним добутком в-ра на в-р наз. в-р , який визначається такими трьома умовами:

1) довжина в-ра ||=||||; 2) в-р перпендикулярний до кожного з в-рів і ; 3) якщо , то в-ри , і утворюють трійки в-рів {,,} і {}–однаково орієнтовані.

Векторний добуток(ВД)позначають Алгебраїчні вл-ті ВД:

1) Антикомутативність множення , тобто від перестановки множників ВД змінює знак. Це випливає з того, що в-ри і мають однакові модулі, колінеарні і трійки в-рів (,,) і (,,) протилежної орієнтації. 2) Асоціативність відносно скалярного множника :. 3) Дистрибутивність відносно додавання в-рів:. Геометричні в-сті ВД: 4) Якщо і колінеарні, то =. Якщо , і колінеарні.; 5) Модуль || ВД неколінеарних в-рів = площі паралелограма, побудованого на векторах і , віднесених до спільного початку, тобто =||; 6) Нехай , тоді .

Мішаним добутком(МД) в-рів ,, наз. скалярний добуток векторного добутку перших двох на третій: . Вл-сті МД: 1) Циклічна перестановка в-рів не змінює МД:; ; ; (об'єм паралелепіпеда ); 5) компланарні; 6),де – ребра трикутної піраміди (вершина піріміди).

Loading...

 
 

Цікаве