WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаГеографія фізична, Геоморфологія, Геологія → Шпаргалки з топології - Шпаргалка

Шпаргалки з топології - Шпаргалка

Нехай -фундаментальна пос-сть пучків-елементів . Кожен є класом еквів-сті деякої фундаментальної пос-сті в . За озн. фундаментальності для кожного , що вик-ся Утворимо пос-сть Тоді для кожного за нерівністю трикутника При маємо то, спрямовуючи отримаємо Звідси випливає, що послідовність теж є фундаментальною, і, отже, належить . Її клас еквівалентності є границею . Отже, -повний.

Ізометричне вкладення задається так: ,тобто відображається в єдиний пучок, який містить сталу послідовність з членами, рівними . Для довільного елемента , де збігається послідовність звідки образ скрізь щільний в . Доведено.

8.Точки дотику множини в метричному та топологічному просторі. Замкнені множини та замикання множини.

Означення. Точка називається точкою дотику множини в метричному просторі , якщо послідовність в , збіжна в до .

Твердження. Точка є точкою дотику множини в метричному просторі тоді і тільки тоді, коли в кожній кулі з центром міститься деякий елемент множини .

Доведення. Якщо є точкою дотику і - послідовність точок , збіжна до , то для кожного за означенням збіжності всі члени , починаючи з деякого моменту, лежать в . І навпаки, якщо в кожній куліз центром міститься деякий елемент множини , то позначимо довільний елемент , який лежить в . Тоді послідовність збігається до . Доведено.

Кожна точка множини є точкою дотику для . Якщо кожна точка дотику множини належить , то називається замкненою в множиною.

Твердження. Множина в метричному просторі є замкненою тоді і тільки тоді, коли границя кожної збіжної послідовності точок з належить .

Твердження. В кожному метричному просторі :

  1. порожня множина та є замкненими множинами;

  2. об'єднання кожних двох замкнених множин і є замкненим;

  3. перетин довільної сім'ї замкнених в множин є замкненим.

Твердження. Множина всіх точок дотику довільної множини в метричному просторі є найменшою з замкнених в множин, які містять .

Цю множину називають замиканням множини в і позначають або .

Точку в топологічному просторі називають точкою дотику множини , якщо в кожному околі міститься точка .

Твердження. Множина є замкненою в топологічному просторі тоді і тільки тоді, коли містить всі свої точки дотику.

Доведення. Для довільної множини і точки можливе одне з двох: або внутрішня точка для , або -точка дотику для . Отже, - замкнена -відкрита всі точки внутрішні в ніяка точка дотику не лежить поза . Доведено.

Множину всіх точок дотику в називають замиканням множини і позначають або .

В топологічному просторі справедливе аналогічне твердження, що - найменша серед замкнених множин, які містять .

Відповідність, яка кожній множині топологічного простору співставляє її замикання , називається оператором замикання на . Оператор замикання має такі властивості:

1) ;

2) для кожного виконується ;

3) для кожного виконується ;

4) для довільних виконується

9. Внутрішні точки множини в метричному та топологічному просторі.

Відкриті множини і внутрішність множини. Межа множини.

Нехайдовільний метричний простір.Точка х називається внутрішньою точкою множини А в метричному просторі, якщо деяка куля міститься в А. Тоді ясно, що . Множина в метричному просторі називається відкритою в , якщо кожна її точка є внутрішньою.

Можна дати рівносильне означення: Множина в метричному просторі називається відкритою, якщо доповнення до неї є замкненим.(Множина наз. замкненою в , якщо вона містить всі свої точки дотику.)

З нерівності трикутника що кожна куля в є відкритою, а замкнена куляє замкненою множиною. Дійсно, якщо, то і для з,. Отже і кожна точка є внутрішньою, тобто є відкритою. Доведення для аналогічне.

ТвердженняВ кожному метричному просторі :1)є відкритими множинами.

2)перетин кожних двох відкритих множин є відкритим.

3)об'єднання довільної сімї F відкритих в множин є відкритим.

Доведення 1) із означення відкритої множини.Якщо в пункті 2) точка належить то вона є внутрішньою для , і існують кулі . Тоді куля , лежить в , і є внутрішньою і для ,–відкрита. 3)Якщосімї відкритих множин, то для деякої , звідки і кожна точка є внутрішньою.

З тверд.що перетин скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною.

ТвердженняМножина всіх внутрішніх точок довільної множини А в є найбільшою з відкритих в множин, які містяться в А.

Цю множину наз внутрішністю множини А в і познач.. Різницю , тобто множину точок, які є точками дотику для А, але не є внутрішніми в А, наз. межею множини А і позн. або. Межа завжди є замкненою множиною, оскільки .

Пара, деХ–множина,–топологія на Х наз топологічним простором. Околом точки х в топологічному просторі Х наз відкриту в Х мн-жину, яка містить х. Точку х наз внутрішньою в мн-жині А, якщо вона лежить в А разом з деяким своїм околом.

ТвердженняМножина А є відкритою в топологічному просторі Х тоді і тільки тоді,коли кожна точка є внутрішньою в А.

ДоведенняЯкщо А відкрита в Х, то вона і є околом кожної точки,який міститься вА Отже, всі точки А є внутрішніми. Якщо всі точки А– внутрішні,то обєднання околів, які лежать в А, для всіх точок , рівне А, звідки А – відкрита.

Твердження Нехай В – база .Точка є внутрішньою в множині А тоді і тільки тоді, коли в А міститься деякий окіл, який належить В.

Для топологічного простору означення внутрішності та межі множини повторюються.

10.Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень

за Гейне та за Коші

Пара,де Х–довільна множина,а –метрика на Х,називається метричним простором Відображення метричних просторів, яке зберігає відстані, має властивість-неперервність.

Озн (за Гейне) Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної послідовності вХ, яка збігається до точки , послідовність збігається до в .

Іншими словами, неперервне в точці , коли при послідовному наближенні до значеня теж збігається до . Відображення, яке не є неперервним в точці , назив розривним в цій точці.

Озн Відображення метричних просторів називається неперервним, якщо воно є неперервним в кожній точці .

Длянеперервності збереження відстаней не є обовязковим. .Достатньо,щоб вик:

.Таке відображення назив нерозтягуючим. Якщо нерозтягуюче і , то ,звідки, отже, неперервне в кожній точці.

Озн (за Коші) Відображення метричних просторів називається неперервним в точці ,якщо для довільного таке ,що для всіх , для яких , вик .

Використовуючи поняття кулі це озн можна сформулювати так: ОЗН: Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної кулі в з центром в існує куля в Х з центром в , образ якої міститься в . Інакше кажучи, неперервне в , якщо образи точок, достатньо близьких до , є близькими до . Це означення наз означенням неперервності за Коші або мовою , а попереднє– за Гейне або мовою послідовностей.

Твердження Довільне відображення метричних просторів неперервне в деякій точці за Гейне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне в за Коші.

Доведення Нехай неперервне в точці за Гейне. Припустимо,що не є неперервним в за Коші. Тоді для деякого в кожній кулі , , міститься , для якого . Позначимо ту точку з , образ якої не лежить в , як . Оскільки , то при , але , томунепрямує до і не є неперервним в за Гейне – отримано суперечність.

Нехай тепер неперервне в точці за Коші, і послідовність прямує до . Для кожного таке, що з випливає . За означенням границі послідовності для цього таке, що для всіх маємо . Отже, для всіх : і послідовність прямує до .Отже, –неперервне

в точці за Гейне.

ОзнВідображення метричних просторів називається рівномірно неперервним, якщо для довільного таке в Х, що для всіх , для яких , вик .

Видно, що з рівномірної неперервності випливає неперервність.

11. Поняття топології і способи її задання: метрика, база, передбаза.

Топологією на множині Х наз. довільна сім'я її підмножин, для якої виконано умови: 1) множини та Х належать до ; 2) для довільних перетин ; 3) для кожної сім'ї об'єднання її елементів належить до .

Loading...

 
 

Цікаве