WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаГеографія фізична, Геоморфологія, Геологія → Шпаргалки з топології - Шпаргалка

Шпаргалки з топології - Шпаргалка

Шпаргалки з топології

3. Лінії другого порядку: еліпс, гіпербола, парабола. Їх основні властивості та зображення.

Алгебраїчне рівняння задає на площині якусь лінію. Наприклад: , Загальне р-ня лінії 2-го порядку:

Еліпс

Еліпсомназив. множина всіх точок площини, сума відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала. Розгл. на мн. 2 точки, відстань між якими .

, - стала, , -?, - координати точок

– канонічне рівняння еліпса (1)

Властивості

1)Лінія симетрична відносно координатних осей і поч. координат.

2)Всі точки еліпса лежать в прямокутнику:

3) Точки перетину з осями

Ці точки називають вершинами еліпса.

4) В першій чверті з (1): . Це означає, що

у I-й чверті графік спадає.

- параметричне р-ня еліпса.

. .

Гіпербола

Гіперболою називається множина всіх точок площини різниця відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала

На площині розглядають точки на відстані . , . .

Властивості

  1. Лінія симетрична відносно координатних осей і початку координат

  2. В смужці –a

3. Лінії другого порядку: еліпс, гіпербола, парабола

  1. - вісь y не перетинає; y=0 , – вершини гіперболи

  2. - 2–і асимптоти гіперболи, . Якщо . –директриси гіперболи. Якщо то - рівностороння гіпербола ()

Парабола

Парабола – це множина усіх точок на площині, рівновіддалених від даної точки і прямої.

- директриса.

– канонічне р-ня параболи

Властивості

  1. Симетрична відносно Ох.

  2. (0; 0) – єдина точка перетину з осями – вершина параболи, асимптот немає

– ексцентриситет параболи

4. Зведення р-ня кривої другого порядку до канонічного вигляду. Афінна

класифікація кривих 2-го порядку

Спрощення рівнянь центральних ліній ІІ порядку за допомогою інваріантів.

До типу центральних ліній ІІ порядку належать еліпс, гіпербола і пара прямих, що перетинаються. Центр лінії в останньому випадку є точка перетину цих прямих. Коли задана лінія центральна то, щоб звести її р-ня до канонічного вигляду, спочатку, незміюючи напряму осей координат базису, перенесемо його початок в центр лінії. При цьому в р-ні зникають члени першого порядку відносно змінних. Далі повернемо координатний базис так, щоб його осі сумістилися з головними діаметрами, тобто осями симетрії лінії. Після цього перетворення в р-ні зникне член з добутком змінних, тобто р-ня стане канонічним. Але на практиці недоцільно щоразу виконувати всі ці перетворення. Канонічне р-ня лінії можна дістати обчисленням його коефіцієнтів за допомогою інваріантів. Справді, канонічне р-ня центральної лінії ІІ порядку має три члени:

(або два у випадку пари прямих).

Коефіцієнти і при квадратах змінних в р-ні лінії ІІ порядку дорівнюють розвязкам його характеристичного р-ня

, а вільний член за формулою .

Отже розв'язавши характеристичне р-ня і визначивши вільний член , ми відразу можемо написати канонічне р-ня центральної лінії Коли , тобто коли лінія ІІ порядку не вироджена, легко визначити її параметри . Справді, . Отже, форма і розміри лінії відомі. Щоб знайти положення лінії і накреслити її, треба визначити координати центра і скласти р-ня осей симетрії. Для гіперболічного треба ще скласти р-ня її асимптот.

Класифікація лінії ІІ порядку.

Розглянемо рівняння 2-го порядку:

із варіантами: (1)

Повернемо с-му корд. на кут , щоб осі набули головних напрямків

(2)

. У р-ні (1) пропаде . Для (1) і (2) виписуємо матрицю і визначник

,

(3)

I. Розглянемо , ()

А) лінія невироджена,

) - одного знаку; - протилежного–еліпс

4. Зведення р-ня кривої другого п-ку до канонічного вигляду.Афінна класифікація кривих 2-го по-ку

, - одного знаку – уявний еліпс

- різних знаків – гіпербола

Б)

- різних знаків – дві прямі, що перетинаються

- одного знаку – дві уявні прямі, що перетинаються у дійсній площині

ІІ.

С)

дві паралельні прямі

дві прямі, що співпадають

дві уявні паралельні прямі

Д)

Перенесемо поч. коорд у вершину параболи

6. Метричні, псевдометричні, ультраметричні простори. Приклади.

Метрикою на множині X називається довільна функція двох аргументів d: XX→R, для якої виконано умови:

1) для довільних x,y є X: d(x,y)≥0 – невід'ємність;

2) для довільних x,y є X: d(x,y)=0 тоді і тільки тоді, коли x=y – невиродженість;

3) для довільних x,y є X: d(x,y)=d(y,x) – симетричність;

4) для довільних x,y,z є X: d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) – нерівність трикутника;

Пара (X,d), де X–довільна множина, а d–метрика на X, називається метричним простором. Значення d(x,y) називають відстанню між точками x та y.

Найважливішим метричним простором є множина дійсних чисел R з метрикою, заданою як d(x,y)=|x-y|. Ця ж формула задає стандартну відстань і між елементами N,Z,Q,C.. Формула

d((x1,x2,...,xn),(y1,y2,...,yn))= задається відстань, яку наз стандартною,між точками (x1,x2,...,xn) та (y1,y2,...,yn)множиниNn, Zn, Qn, Cn.

На довільній множині X можна задати просту метрику, названу дискретною:

d(x,y)=

Для цієї метрики нерівність трикутника 4) виконана у сильнішому вигляді:

4') для довільних x,y,z є X: d(x,z)≤max{d(x,y), d(y,z)}.

Очевидно, при 1) з 4') випливає 4).Функція d: XxX→R, для якої виконано 1), 2), 3), 4'), називається ультраметрикою, а пара (X,d) – ультраметричним простором.

Приклад ультраметрики – функція на XX, де X=X1X2...Xn, задана для x=(x1,x2,...,xn), y=(y1,y2,...,yn) так:

d(x,y)=

k=inf{i|xi≠yi}.

Якщо ж для d: XX→R виконано 1),3),4) та слабшу умову твердження 2):

2`) для довільного х є X: d(x,x)=0;

то d називають псевдометрикою, а множину X з заданою псевдометрикою –псевдометричним простором. Тривіальний приклад псевдометрики, яка не є метрикою–нульова функція d(x,y)≡0.

На добутку X1xX2x...xXn (псевдо)метричних просторів(X1,d1), (X2,d2),...,(Xn,dn), (псевдо)метрику можна задати кількома способами, наприклад:

((x1,x2,...,xn),(y1,y2,...,yn))=(d1(x1,y1)p+d2(x2,y2)p+...+dn(xn,yn)p)1/p для довільного p>1,а також ((x1,x2,...,xn),(y1,y2,...,yn))=max{d1(x1,y1),d2(x2,y2),...,dn(xn,yn)}

Ці формули узагальнюють метрики на Rn.

7. Границя послідовності в метричному просторі. Повнота і поповнення

метричного простору.

Числова послідовність називається безмежно малою, якщо для довільного існує таке , що для всіх .

Озн1. Послідовність точок метричного простору збігається до точки , якщо числова послідовність , є безмежно малою.

Озн2. Послідовність точок метричного простору збігається до точки , якщо для кожного існує таке , що для всіх відстань .

Озн3. Послідовність точок метричного простору збігається до точки , якщо для кожного всі члени , починаючи з певного моменту, містяться в кулі .

Тоді точка називається границею послідовності , що записуємо або Послідовність, яка має границю називається збіжною.

Озн4. Послідовність називається фундаментальною, якщо для кожного існує таке , що для всіх маємо

Озн5. Простір, в якому кожна фундаментальна послідовність має границю називається повним.

Тв-ння. Якщо підпростір метричного простору повний, то замкнений в .

Тв-ння. Замкнений підпростір повного метричного простору теж є повним.

Озн6. Поповненням метричного простору називається довільний повний метричний простір в який ізометрично вкладається як скрізь щільна множина.

Озн7. Якщо відображення зберігає відстані, ін'єктивне, і простір ізометричний образу , то називають ізометричним вкладенням і кажуть, що ізометрично вкладає простір у вигляді підмножини в простір

Теорема.(Ф.Гаусдорф). Для кожного метричного простору існує поповнення .

Доведення. Побудуємо поповнення . Нехай -множина всіх фундаментальних послідовностей в, - псевдометрика на . При маємо Отже, на множині класів еквівалентності, які називають пучками, можна задати метрику Покажемо, що -шукане поповнення простору .

Loading...

 
 

Цікаве