WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаГеографія фізична, Геоморфологія, Геологія → Про оцінку точності головних значень тензора деформації - Реферат

Про оцінку точності головних значень тензора деформації - Реферат


Реферат на тему:
Про оцінку точності головних значень тензора деформації
Тензор чистої деформації можна поділити на ізотропну і девіаторну частини. Ця особливість дуже важлива при розгляданні ізотропних середовищ, оскільки за законом Гука, девіаторні деформації пропорційні девіаторним напруженням, а ізотропні деформації - ізотропним. Ізотропна частина тензора деформації, яку іноді називають октаедричною або середньою нормальною деформацією, представляє собою чисту дилатацію. Девіаторна частина - чисто зсувна деформації без зміни об'єма - важлива в теорії пластичності. Згідно принципу Коші - Гельмгольца, будь-який рух деформованого середовища в будь-який момент часу можливо описати накладанням паралельного переносу, що визначається вектором ( - вектор швидкості), обертального руху і чистої деформації" [2]. Один із прикладів визначення обертального руху за даним GPS спостережень можна знайти в роботі [4]. В запропонованій роботі розглянутий розв'язок задачі знаходження головних значень тензора деформації та їх оцінки точності. Звичайно, що для розв'язування останньої задачі необхідні аналітичні залежності між елементами зазначеного тензора і його головними значеннями.
Розглянемо тензор деформації загального виду :
, (1)
вважаючи елементи матриці А заданими. Як відомо, визначення головних значень матриці (1) вимагає розв'язування відповідної задачі на власні значення, а на практиці - розв'язування алгебраїчного рівняння 3-ї степені у випадку тензору другої валентності. Зазначене характеристичне рівняння для кожної задачі приймає конкретний вигляд, але завжди може бути виражене через інваріанти матриці А. Таким чином, розв'язок задачі на головні значення і знаходження оцінки точності завжди зводиться - в першу чергу - до визначення вказаних інваріантів. У відповідності з математичною теорією питання [3], інваріанти I1, I2 і I3 приймають такий вигляд:
, (2)
, (3)
. (4)
Оскільки приведення як матриці А, так і її девіатора до діагонального виду визначається одним і тим же лінійним перетворенням [3], то згідно з зауваженням на початку роботи, наступним кроком мусить бути перехід до матриці девіатора:
, (5)
де I - одинична матриця, або в розгорнутому вигляді:
(6)
Слід матриці девіатора дорівнює нулю і відповідно інваріант також буде рівним нулю. Інваріанти і для девіатора можемо записати:
, (7)
. (8)
Розв'язуючи далі характеристичне рівняння для девіатора:
, (9)
отримаємо його корені
де . (10)
Тепер перейдемо до головних значень тензора деформації, а саме:
(11)
Наступним етапом даної роботи є оцінка точності головних деформацій. Найбільш простий розв'язок полягає в оцінці точності інваріантів і , як величин незмінних при лінійнихперетвореннях системи координат. Таким чином, для останнього застосуємо стандартний прийом оцінки точності функції без врахування взаємних коваріацій, які вважаємо невідомими:
(13)
(14)
(15)
Відмітимо, що виражає собою фактично середню квадратичну похибку дилатації, а похідні, які входять в вирази (14) і (15), мають такий вигляд
, (16)
, (16)
, (16)
, (16)
, (16)
, (16)
. (16)
В цьому випадку загальний вираз для визначення середніх квадратичних похибок буде мати вигляд:
,(17)
Тут величини характеризують точність визначення коренів характеристичного рівняння (9):
(18)
де необхідна компонента виражена з врахуванням коваріації між і :
. (19)
Для тестування даного алгоритму використовувались результати, які приведенні в роботі [1]. В табл. 1 приведені два набори вихідних даних з їх середніми квадратичними похибками. В табл. 2 приведені результати обрахунків авторів статті без оцінювання їх точних характеристик, що зв'язано чисто з чисельним розв'язком характеристичного рівняння (А - з першого набору даних, В - з другого). В табл. 3 приведені результати обробки даних за поданою методикою (А - з першим набором даних, В - з другим), включаючи оцінку точності головних значень деформації.
Таблиця 1
Вихідні дані згідно з M.Crespi
Елементи тензора Значення Середня квадратична похибка m Елементи тензора Значення Середня квадратична похибка m
exx -0.48 ? 10-7 0.18 ? 10-8 exx -0.86 ? 10-7 0.25 ? 10-8
eyy 0.48 ? 10-7 0.94 ? 10-10 eyy 0.24 ? 10-7 0.12 ? 10-9
ezz 0.63 ? 10-10 0.17 ? 10-8 ezz 0.94 ? 10-7 0.24 ? 10-8
exy 0.11 ? 10-6 0.37 ? 10-6 exy 0.71 ? 10-7 0.53 ? 10-9
exz 0.24 ? 10-7 0.17 ? 10-8 exz 0.14 ? 10-7 0.25 ? 10-8
eyz -0.12 ? 10-6 0.36 ? 10-9 eyz -0.25 ? 10-7 0.51 ? 10-9
Таблиця 2.
Результати обробки згідно з M.Crespi
А В
L1 0.17 ? 10-6 L1 0.61 ? 10-7
L3 -0.17 ? 10-6 L3 -0.89 ? 10-7
Таблиця 3.
Результати обробки згідно з запропонованою методою
А В
L1 0.17? 10-6 L1 2.35?10-7
L2 -0.99 ? 10-9 L2 0.60 ? 10-7
L3 -0.17 ? 10-6 L3 -0.91 ? 10-7
0.13 ? 10-8 0.25 ? 10-8
0.19 ? 10-8 0.15 ? 10-8
0.18 ? 10-8 0.26 ? 10-8
Література
1. Crespi M., Pietrantonio G., and Riguzzi F. Strain tensor estimation by GPS observations: software and applications // Bolletino di Geodesia e Scienze Affini.- 2000.- №3.- Р.261-280.
2. Есиков Н. Тектонические аспекты анализа современных движений земной поверхности. - Новосибирск: Наука,1979.- 167 с.
3. Кочин Н. Векторное исчесление и начала тензорного исчисления. - М.: АН СССР, 1951.- 426 с.
4. Marchenko D. A note on the temporal trend of point positions in the Ukraine area. // Вісник астрономічної школи.-2000.- т.1, № 2.- С.51-55.
Loading...

 
 

Цікаве