WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаГеографія фізична, Геоморфологія, Геологія → Шпаргалки з топології - Реферат

Шпаргалки з топології - Реферат

х в топологічному просторі Х наз відкриту в Х мн-жину, яка містить х. Точку х наз внутрішньою в мн-жині А, якщо вона лежить в А разом з деяким своїм околом.
Твердження Множина А є відкритою в топологічному просторі Х тоді і тільки тоді,коли кожна точка є внутрішньою в А.
Доведення Якщо А відкрита в Х, то вона і є околом кожної точки ,який міститься вА Отже, всі точки А є внутрішніми. Якщо всі точки А- внутрішні,то обєднання околів, які лежать в А, для всіх точок , рівне А, звідки А - відкрита.
Твердження Нехай В - база .Точка є внутрішньою в множині А тоді і тільки тоді, коли в А міститься деякий окіл , який належить В.
Для топологічного простору означення внутрішності та межі множини повторюються.
10.Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень
за Гейне та за Коші
Пара ,де Х-довільна множина,а -метрика на Х,називається метричним простором Відображення метричних просторів, яке зберігає відстані, має властивість-неперервність.
Озн (за Гейне) Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної послідовності вХ, яка збігається до точки , послідовність збігається до в .
Іншими словами, неперервне в точці , коли при послідовному наближенні до значеня теж збігається до . Відображення, яке не є неперервним в точці , назив розривним в цій точці.
Озн Відображення метричних просторів називається неперервним, якщо воно є неперервним в кожній точці .
Для неперервності збереження відстаней не є обовязковим. .Достатньо,щоб вик:
.Таке відображення назив нерозтягуючим. Якщо нерозтягуюче і , то ,звідки , отже, неперервне в кожній точці .
Озн (за Коші) Відображення метричних просторів називається неперервним в точці ,якщо для довільного таке ,що для всіх , для яких , вик .
Використовуючи поняття кулі це озн можна сформулювати так: ОЗН: Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної кулі в з центром в існує куля в Х з центром в , образ якої міститься в . Інакше кажучи, неперервне в , якщо образи точок, достатньо близьких до , є близькими до . Це означення наз означенням неперервності за Коші або мовою , а попереднє- за Гейне або мовою послідовностей.
Твердження Довільне відображення метричних просторів неперервне в деякій точці за Гейне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне в за Коші.
Доведення Нехай неперервне в точці за Гейне. Припустимо,що не є неперервним в за Коші. Тоді для деякого в кожній кулі , , міститься , для якого . Позначимо ту точку з , образ якої не лежить в , як . Оскільки , то при , але , тому не прямує до і не є неперервним в за Гейне - отримано суперечність.
Нехай тепер неперервне в точці за Коші, і послідовність прямує до . Для кожного таке , що з випливає . За означенням границі послідовності для цього таке , що для всіх маємо . Отже, для всіх : і послідовність прямує до .Отже, -неперервне
в точці за Гейне.
Озн Відображення метричних просторів називається рівномірно неперервним, якщо для довільного таке в Х, що для всіх , для яких , вик .
Видно, що з рівномірної неперервності випливає неперервність.
11. Поняття топології і способи її задання: метрика, база, передбаза.
Топологією на множині Х наз. довільна сім'я її підмножин, для якої виконано умови: 1) множини та Х належать до ; 2) для довільних перетин ; 3) для кожної сім'ї об'єднання її елементів належить до .
Пару (Х, ), де Х - множина, - топологія на Х, наз. топологічним простором. Елементи наз. відкритими множинами в просторі (Х, ). Доповнення до відкритих множин наз. замкненими множинами в топології .
Твердження. Множини в (псевдо)метричному просторі (Х,d), відкриті відносно (псевдо)метрики d, утворюють деяку топологію Множини, замкнені відносно d, збігаються з множинами, замкненими в .
Отже, один з способів отримати топологію на множині Х - обрати на Х (псевдо)метрику d та утворити сім'ю з усіх множин, відкритих відносно d. Кажемо, що топологія породжується (псевдо)метрикою d.
Простий спосіб утворити топологію на множині Х полягає у тому, щоб включити в всі підмножини в Х, оголосивши всі множини відкритими. Така топологія наз. дискретною топологією на Х.
Якщо і - топології на Х, і , то наз. меншою або слабшою, - більшою або сильнішою. Дискретна топологія є найсильнішою з топологій на Х. Інша крайність - антидискретна топологія , яка за означенням топології міститься в кожній топології на Х, і, отже, є найслабшою. Оскільки в метричному просторі кожна точка є замкненою множиною, що не виконується для антидискретної топології, то ця топологія не може бути заданою метрикою, але породжується нульовою псевдометрикою .
Сім'я В підмножин топологічного простору (Х, ) наз. його базою або базою топології , якщо всі елементи В відкриті (тобто ), і відкрита кожна множина є об'єднанням деякої сім'ї F елементів В.
Твердження. Сім'я В підмножин множини Х є базою топології на Х тоді і тільки тоді, коли , і для кожної точки х довільної відкритої множини існує , для якого .
Отже, кулі утворюють базу топології, породженої метрикою. Кожна топологія є (тривіальною) базою для себе. Всі відкриті інтервали (a,b), a0; ?? , якщо 0 ?? , якщо <0 ?? .
Достатність. Якщо і - колінеарні і не дорівнюють нулю, тоді і -лін. зал. ("-", якщо ?? , "+", якщо ?? ).
Т.4. Якщо с-ма в-рів містить нуль-вектор ( ), то вона лін. зал.
= ; ( ).
Множину геометричних векторів наз. векторним простором, якщо вона замкнута відносно операції додавання, віднімання, множення в-рів на число. Замкнута-дані операції не виводять за межі даної множини.
Впорядкована множина в-рів наз. базисом векторногопростору, якщо: 1) дані в-ри лін. незалежні; 2) будь-який в-р векторного простору виражається через дані в-ри.
Базисом на прямій наз. довільний ненульовий в-р на цій прямій. Базисом на площині наз. довільна упорядкована пара не колінеарних в-рів, а базисом у просторі- довільна упорядкована трійка некомпланарних в-рів. В-ри, що складають базис, наз. базисними.
Скалярним добутком(СД) в-рів і наз. число | || | (1), де кут між в-рами і . Ця величина є скаляр і має деякі алгебраїчні вл-сті звичайного добутку чисел. Розглянемо вл-сті СД: 1) (комутативна вл-сть множення). Дов. За означенням СД =| || | і | || | . Оскільки | || |=| || | як добуток чисел і = , тому що = , то . Доведено першу вл-сть.; 2) ; 3) ( ), .; 4) -гострий, -тупий; 5) =(скалярний квадрат)= | || | | | , | |= ; 6) пр ; 7) ( ) (асоціативна вл-сть множення на число ). Дов. ( ) | |пр | |пр .; 8) (дистрибутивна вл-сть відносно додавання в-рів). Дов. | |пр | |пр | |пр .
Векторним добутком в-ра на в-р наз. в-р , який визначається такими трьома умовами:
1) довжина в-ра | |=| || | ; 2) в-р перпендикулярний до кожного з в-рів і ; 3) якщо , то в-ри , і утворюють трійки в-рів { , , } і { }-однаково орієнтовані.
Векторний добуток(ВД)позначають Алгебраїчні вл-ті ВД:
1) Антикомутативність множення , тобто від перестановки множників ВД змінює знак. Це випливає з того, що в-ри і мають однакові модулі, колінеарні і трійки в-рів ( , , ) і ( , , ) протилежної орієнтації. 2) Асоціативність відносно скалярного множника : . 3) Дистрибутивність відносно додавання в-рів: . Геометричні в-сті ВД: 4) Якщо і колінеарні, то = . Якщо , і колінеарні.; 5) Модуль | | ВД неколінеарних в-рів = площі паралелограма, побудованого на векторах і , віднесених до спільного початку, тобто =| |; 6) Нехай , тоді .
Мішаним добутком(МД) в-рів , , наз. скалярний добуток векторного добутку перших двох на третій: . Вл-сті МД: 1) Циклічна перестановка в-рів не змінює МД: ; ; ; (об'єм паралелепіпеда ); 5) компланарні; 6) ,де - ребра трикутної піраміди ( вершина піріміди).
Loading...

 
 

Цікаве