WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаГеографія фізична, Геоморфологія, Геологія → Шпаргалки з топології - Реферат

Шпаргалки з топології - Реферат

Шпаргалки з топології
3. Лінії другого порядку: еліпс, гіпербола, парабола. Їх основні властивості та зображення.
Алгебраїчне рівняння задає на площині якусь лінію. Наприклад: , Загальне р-ня лінії 2-го порядку:
Еліпс
Еліпсом назив. множина всіх точок площини, сума відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала. Розгл. на мн. 2 точки, відстань між якими .
, - стала, , -?, - координати точок
- канонічне рівняння еліпса (1)
Властивості
1)Лінія симетрична відносно координатних осей і поч. координат.
2)Всі точки еліпса лежать в прямокутнику:
3) Точки перетину з осями
Ці точки називають вершинами еліпса.
4) В першій чверті з (1): . Це означає, що
у I-й чверті графік спадає.
- параметричне р-ня еліпса.
. .
Гіпербола
Гіперболою називається множина всіх точок площини різниця відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала
На площині розглядають точки на відстані . , . .
Властивості
1) Лінія симетрична відносно координатних осей і початку координат
2) В смужці -aЦі формули узагальнюють метрики на Rn.
7. Границя послідовності в метричному просторі. Повнота і поповнення
метричного простору.
Числова послідовність називається безмежно малою, якщо для довільного існує таке , що для всіх .
Озн1. Послідовність точок метричного простору збігається до точки , якщо числова послідовність , є безмежно малою.
Озн2. Послідовність точок метричного простору збігається до точки , якщо для кожного існує таке , що для всіх відстань .
Озн3. Послідовність точок метричного простору збігається до точки , якщо для кожного всі члени , починаючи з певного моменту, містяться в кулі .
Тоді точка називається границею послідовності , що записуємо або Послідовність, яка має границю називається збіжною.
Озн4. Послідовність називається фундаментальною, якщо для кожного існує таке , що для всіх маємо
Озн5. Простір, в якому кожна фундаментальна послідовність має границю називається повним.
Тв-ння. Якщо підпростір метричного простору повний, то замкнений в .
Тв-ння. Замкнений підпростір повного метричного простору теж є повним.
Озн6. Поповненням метричного простору називається довільний повний метричний простір в який ізометрично вкладається як скрізь щільна множина.
Озн7. Якщо відображення зберігає відстані, ін'єктивне, і простір ізометричний образу , то називають ізометричним вкладенням і кажуть, що ізометрично вкладає простір у вигляді підмножини в простір
Теорема.(Ф.Гаусдорф). Для кожного метричного простору існує поповнення .
Доведення. Побудуємо поповнення . Нехай -множина всіх фундаментальних послідовностей в , - псевдометрика на . При маємо Отже, на множині класів еквівалентності, які називають пучками, можна задати метрику Покажемо, що -шукане поповнення простору .
Нехай -фундаментальна пос-сть пучків-елементів . Кожен є класом еквів-сті деякої фундаментальної пос-сті в . За озн. фундаментальності для кожного , що вик-ся Утворимо пос-сть Тоді для кожного за нерівністю трикутника При маємо то, спрямовуючи отримаємо Звідси випливає, що послідовність теж є фундаментальною, і, отже, належить . Її клас еквівалентності є границею . Отже, -повний.
Ізометричне вкладення задається так: ,тобто відображається в єдиний пучок, який містить сталу послідовність з членами, рівними . Для довільного елемента , де збігається послідовність звідки образ скрізь щільний в . Доведено.
8.Точки дотику множини в метричному та топологічному просторі. Замкнені множини та замикання множини.
Означення. Точка називається точкою дотику множини в метричному просторі , якщо послідовність в , збіжна в до .
Твердження. Точка є точкою дотику множини в метричному просторі тоді і тільки тоді, коли в кожній кулі з центром міститься деякий елемент множини .
Доведення. Якщо є точкою дотику і - послідовність точок , збіжна до , то для кожного за означенням збіжності всі члени , починаючи з деякого моменту, лежать в . І навпаки, якщо в кожній кулі з центром міститься деякий елемент множини , то позначимо довільний елемент , який лежить в . Тоді послідовність збігається до . Доведено.
Кожна точка множини є точкою дотику для . Якщо кожна точка дотику множини належить , то називається замкненою в множиною.
Твердження. Множина в метричному просторі є замкненою тоді і тільки тоді, коли границя кожної збіжної послідовності точок з належить .
Твердження. В кожному метричному просторі :
1) порожня множина та є замкненими множинами;
2) об'єднання кожних двох замкнених множин і є замкненим;
3) перетин довільної сім'ї замкнених в множин є замкненим.
Твердження. Множина всіх точок дотику довільної множини в метричному просторі є найменшою з замкнених в множин, які містять .
Цю множину називають замиканням множини в і позначають або .
Точку в топологічному просторі називають точкою дотику множини , якщо в кожному околі міститься точка .
Твердження. Множина є замкненою в топологічному просторі тоді і тільки тоді, коли містить всі свої точки дотику.
Доведення. Для довільної множини і точки можливе одне з двох: або внутрішня точка для , або -точка дотику для . Отже, - замкнена -відкрита всі точки внутрішні в ніяка точка дотику не лежить поза . Доведено.
Множину всіх точок дотику в називають замиканням множини і позначають або .
В топологічному просторі справедливе аналогічне твердження, що - найменша серед замкнених множин, які містять .
Відповідність, яка кожній множині топологічного простору співставляє її замикання , називається оператором замикання на . Оператор замикання має такі властивості:
1) ;
2) для кожного виконується ;
3) для кожного виконується ;
4) для довільних виконується
9. Внутрішні точки множини в метричному та топологічному просторі.
Відкриті множини і внутрішність множини. Межа множини.
Нехай довільний метричний простір.Точка х називається внутрішньою точкою множини А в метричному просторі , якщо деяка куля міститься в А. Тоді ясно, що . Множина в метричному просторі називається відкритою в , якщо кожна її точка є внутрішньою.
Можна дати рівносильне означення: Множина в метричному просторі називається відкритою, якщо доповнення до неї є замкненим.(Множина наз. замкненою в , якщо вона містить всі свої точки дотику.)
З нерівності трикутника що кожна куля в є відкритою, а замкнена куля є замкненою множиною. Дійсно, якщо , то і для з , . Отже і кожна точка є внутрішньою, тобто є відкритою. Доведення для аналогічне.
Твердження В кожному метричному просторі :1) є відкритими множинами.
2)перетин кожних двох відкритих множин є відкритим.
3)об'єднання довільної сімї F відкритих в множин є відкритим.
Доведення 1) із означення відкритої множини.Якщо в пункті 2) точка належить то вона є внутрішньою для , і існують кулі . Тоді куля , лежить в , і є внутрішньою і для , -відкрита. 3)Якщо сімї відкритих множин, то для деякої , звідки і кожна точка є внутрішньою.
З тверд. що перетин скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною.
Твердження Множина всіх внутрішніх точок довільної множини А в є найбільшою з відкритих в множин, які містяться в А.
Цю множину наз внутрішністю множини А в і познач. . Різницю , тобто множину точок, які є точками дотику для А, але не є внутрішніми в А, наз. межею множини А і позн. або . Межа завжди є замкненою множиною, оскільки .
Пара , деХ-множина, -топологія на Х наз топологічним простором. Околом точки
Loading...

 
 

Цікаве