WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаТехнічні науки → Стійкість систем автоматичного управління. Алгебрагічні критерії стійкості - Реферат

Стійкість систем автоматичного управління. Алгебрагічні критерії стійкості - Реферат

Рауса позитивні, тобто САУ нестійка, число правого коріння характеристичного рівняння рівне числу змін знаку в першому стовпці таблиці Рауса.
1.3.3. Критерій Гурвіца
Цей критерій дозволяє визначити стійкість САУ, якщо характеристичне рівняння замкнутої системи представлене у вигляді:
Для цього будується головний визначник Гурвіца за наступним правилом: по головній діагоналі виписуються всі коефіцієнти від до в порядку зростання коефіцієнтів. Стовпці вгору від головної діагоналі заповнюються коефіцієнтами характеристичного рівняння з послідовно зростаючими індексами, а стовпці вниз - коефіцієнтами з послідовно убуваючими індексами. На місці коефіцієнтів з індексами, великими порядку характеристичного рівняння і меншими нуля, проставляють нулі.
Виділяючи в головному визначнику Гурвіца діагональний мінор, отримуємо визначника Гурвіца нижчого порядку. Номер визначника Гурвіца визначається номером коефіцієнта по діагоналі, до якого складають даного визначника.
, , .
Визначення: щоб САУ була стійка, необхідно і достатньо, щоб визначник Гурвіца і його діагональний мінор мали знаки, однакові із знаком першого коефіцієнта характеристичного рівняння замкнутої САУ. При для стійкості САУ необхідно і достатнє виконання умов:
;.
Розглянемо замкнуту САУ, що складається з трьох послідовно включених аперіодичних ланок, охоплених 100% зворотним зв'язком.
Передавальна розімкненою САУ функція має вигляд:
.
Передавальна функція замкнутої САУ визначається як
.
Головний визначник Гурвіца має вигляд:
.
Перший визначник Гурвіца . Ця умова виконується для всіх можливих комбінацій параметрів САУ.
Другий визначник Гурвіца визначається як
.
Розкриваючи визначника отримуємо
.
Вирішуючи це рівняння щодо сумарного коефіцієнта посилення САУ, визначуваного як
,
отримуємо, що
З цього виходить, що сумарний коефіцієнт посилення САУ не може перевищувати деяку величину. Отже, межі зменшення погрішності стабілізації регульованої координати в такій системі обмежені.
2. Частотні критерії стійкості
Це графоаналітичні методи, що дозволяють по вигляду частотних характеристик САУ судити про їх стійкість. Їх загальна гідність в простій геометричній інтерпретації, наочності і у відсутності обмежень на порядок диференціального рівняння.
2.1. Принцип аргументу
Запишемо характеристичний поліном САУ у вигляді:
D(p)= a0 (p - p1) (p - p2) ... (p - pn) = 0.
Його коріння
pi = i + ji = |pi|ejarg(pi),
де pi = i + j i = |pi|ejarg(pi),
.
Кожен корінь можна зобразити вектором на комплексній площині (рис.3.а), тоді різниця p - pi зобразиться різницею векторів (рис.3.б), де p - будь-яке число.
Рис. 3.
Якщо міняти значення p довільним чином, то кінець вектора p - pi переміщатиметься по комплексно площини, а його початок залишатиметься нерухомим, оскільки pi - це конкретне незмінне значення.
У окремому випадку, якщо на вхід системи подавати гармонійні коливання з різною частотою, то p = j, а характеристичний поліном приймає вигляд:
D(j)= a0 (j - p1) (j - p2) ... (j - pn).
При цьому кінці векторів j - pi знаходитимуться на уявній осі (рис.3.в). Якщо міняти від - до + , то кожен вектор j - pi буде повертатися щодо свого початку pi на кут +p для лівих і - p для правого коріння (рис.3.г).
Характеристичний поліном можна представити у вигляді
D(j)= |D(j)|ejarg(D(j)),
де |D(j)| = a0|j - p1||j - p2|...|j - pn|
arg(D(j))= arg(j - p1)+ arg(j - p2)+ .. + arg(j - pn).
Хай з n коріння m - праві, а n - m - ліві, тоді кут повороту вектора D(j) при зміні від - до + рівний
= (n - m) - m
або при зміні від 0 до + отримуємо
= (n - 2m) ( /2).
Звідси витікає правило: зміна аргументу вектора b при зміні частоти від - до + рівно різниці між числом лівого і правого коріння рівняння D(p)= 0, помноженому на, а при зміні частоти від 0 до + ця різниця умножається на /2.
Це і є принцип аргументу. Він покладений в основі всіх частотних критеріїв стійкості. Ми розглянемо два найбільш поширених критерії: критерій Михайлова і критерій Найквіста.
2. 2. Частотний критерій Михайлова
Критерій Михайлова - це частотний критерій, що дозволяє судити про стійкість замкнутої системи по поведінці її характеристичного вектора на комплексній площині. Характеристичний вектор отримують шляхом підстановки у вираз для характеристичного полінома
,
Значення . Тоді характеристичний вектор представляється комплексною величиною, визначуваною як:
,
де
Якщо задаватися різними значеннями і відкладати значення по горизонтальній, а - по вертикальній осям декартової системи координат, то буде отримана крива, звана годографом характеристичного вектора або годографом Михайлова. Інше формулювання: годографом Михайлова називається безліч крапок, утворених при русі характеристичного вектора САУ при зміні частоти від 0 до .
Тобто для стійкості САУ необхідне виконання умови вигляду:
.
Для виведення цього твердження представимо характеристичний поліном у вигляді
,
де - коріння характеристичного рівняння .
На комплексній площині кожному кореню відповідає певна точка. Підставивши, отримуємо
.
Кожен вектор може бути представлений у вигляді вектора, почало якого лежить в крапці, що визначає корінь а кінець лежить на уявній осі. Отже, можна представити сумарним вектором, рівним твору елементарних векторів. Модуль сумарного вектора буде рівний твору модулів окремих векторів, а фаза - сумі фаз цих векторів. При зміні частоти кінець кожного вектора переміщатиметься уздовж уявної осі. При зміні частоти від до кожен вектор, що становить, почало якого лежить на речовій осі, обернеться на кут, рівний, якщо його початок лежить в лівій напівплощині, і рівний -, якщо його початок лежить в правій напівплощині. Кожна пара комплексно-зв'язаного коріння - відповідно на кут + .
Якщо характеристичне рівняння має m коріння в правій напівплощині, то в лівій напівплощині число цього коріння буде рівнеn-m. При зміні частоти від до сумарний кут повороту вектора характеристичного полінома визначається як
.
Для стійкості САУ необхідне і достатньо, щоб все коріння характеристичного рівняння лежало в лівій напівплощині, тобто щоб . Таким чином, якщо вектор характеристичного полінома замкнутої САУ порядку "n" при зміні частоти від до описує в позитивному напрямі кут n, то така система регулювання буде стійка. Інакше САУ буде нестійка.
Через симетричність кривої, що описується кінцем вектора характеристичного полінома, можна обмежитися розглядом лише її частини, відповідної позитивним значенням частоти. При цьому кут, що описується вектором характеристичного полінома при зміні частоти від 0 до, зменшиться удвічі і визначатиметься як
.
Формулювання критерію: для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб її характеристичний вектор при зміні частоти від 0 до обернувся в позитивному напрямі (проти годинникової стрілки), починаючи з позитивної речової осі на число квадрантів, рівне порядку характеристичного рівняння.
На рис. 4 приведені годографи Михайлова для стійких і нестійких САУ. Зміну коефіцієнта викликає зрушення годографа Михайлова уздовж горизонтальної осі без його деформації. Це дає можливість оцінити граничне значення цього коефіцієнта, при якому зберігаються умови стійкої роботи САУ.
Рис. 4. Годографи Михайлова для стійких і нестійких САУ
2. 3. Частотний критерій Найквіста
Критерій Найквіста - це частотний критерій, що дозволяє судити про стійкість САУ, замкнутим одиничним зворотним зв'язком, по вигляду амплитудно-фазової частотної характеристики розімкненої системи.
Для формулювання критерію розглянемо САУ, яка в розімкненому стані характеризується передавальною функцією вигляду
,
де - деякі поліноми
Loading...

 
 

Цікаве