WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаТехнічні науки → Похибки вимірювань фізичних величин - Реферат

Похибки вимірювань фізичних величин - Реферат

експериментальних вимірювань слід використовувати диференціальну функцію нормованого нормального розподілу [1]:
(19)
Значення диференціальної функції нормованого нормального розподілу та інтегральна функція цього розподілу, яка визначається такою залежністю:
(20)
Значне поширення нормального розподілу похибок у практиці вимірювань пояснюється центральною граничною теоремою теорії ймовірностей, яка є однією з визначних математичних теорем, розроблених видатними математиками: А. де Муавром, П. де Лапласом, К.Ф. Гауссом, П.Л. Чебишевим, A.M. Ляпуновим та ін.
Центральна гранична теорема стверджує, що розподіл випадкових похибок буде близьким до нормального кожного разу,коли результати спостережень формуватимуться під впливом великої кількості незалежних чинників, кожен з яких справляє лише незначний вплив порівняно із сумарним впливом інших.
Диференційні функції при нормальному законі розподілу результатів спостережень мають дзвоноподібну симетричну форму і забезпечують добре унаочнення про розсіювання результатів вимірювань та випадкових похибок.
При зменшенні середнього квадратичного відхилення ?1Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю.
Рис. 5. Криві нормального розподілу випадкових похибок при різних значеннях середнього квадратичного відхилення ?1Довірчі межі випадкових похибок - це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р3. Величина Р3 називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків.
При відомому середньому геометричному значенні ? довірчі межі ставляться за нижньою межею -? і верхньою межею +?. Довірчий інтервал має вигляд
Ір=(тх - ?;тх+?), (21)
де тх - середнє арифметичне значення результатів вимірювань.
Залежно від мети та точності вимірювань довірчі межі задаються -tp? або mx - tp? і + tp? або mx+tp?. Довірчий інтервал значення вимірюваної величини має вигляд
Ір = (тх - tp?; mx + tp?). (22)
Значення коефіцієнта tp визначається шляхом зворотного інтерполювання інтегральної функції Ф(t) для вибраних довірчих ймовірностей при п?? наведені у табл. 1.
Таблиця 1
P 0,683 0,90 0,95 0,98 0,99 0,995 0,9973
tр 1,00 1,645 1,96 2,33 2,58 2,80 3,00
Так, при нормальному розподілі похибок з ймовірністю 0,68, випадкові похибки ? знаходяться у довірчих межах ±1?; з ймовірністю 0,95 - у межах подвійної середньої квадратичної похибки ±2?; з ймовірністю 0,9973 - у межах ±3? (рис. 6).
Рис. 6. Довірчі межі та довірчі ймовірності
при нормальному законі розподілу
Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9-0,95.
Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями.
Припустимо, що ? = к?, і визначимо ймовірності Р їх виявлення для таких значень к: 0,5; 1; 2; 3; 4; 5; 5...
За даними табл. 2, загальна сума результатів спостережень з випадковими похибками до ? ? 3? дорівнює 99,73 %. Звідси виникає правило 3?, за яким при нормальному розподілі результати спостережень, випадкові похибки яких більші або рівні ? ? 3?, можна виключити з ряду результатів, оскільки ймовірність їх появи дуже мала.
Таблиця 2
к 0,5 1 2 3 4 5
Р 0,635 0,317 0,045 0,0027 0,0001 0,000001
% 63,5 31,7 4,5 ?0,03 0,0001 0,00001
4. Оцінка істинного значення вимірюваної величини
Одним із важливих завдань в процесі експериментальних вимірювань є встановлення істинного значення вимірюваної величини. Це завдання є окремим випадком статистичної задачі визначення оцінок параметрів функції розподілу випадкової величини на основі вибірки ряду значень цієї величини, одержаних в п незалежних дослідах.
Оцінку параметра називають кінцевою, якщо вона виражається одним числом. Будь-яка кінцева оцінка, обчислена за дослідними даними, є їх функцією, а тому і сама вона є випадковою величиною з розподілом, залежним від розподілу вихідної випадкової величини та від кількості вимірювань п.
Одержана в результаті багаторазових вимірювань інформація про істинне значення вимірюваної величини і розсіювання результатів окремих вимірювань складається з ряду вимірювань Х1, Х2,..., Хп, де п - кількість вимірювань.
За цих умов за оцінку істинного значення вимірюваної величини природно прийняти середнє арифметичне значення одержаних результатів вимірювання, як п незалежних випадкових величин.
(23)
Проте середнє арифметичне є лише оцінкою математичного сподівання результатів вимірювань і може стати оцінкою істинного значення вимірюваної величини за відсутності систематичних похибок.
Середнє арифметичне, обчислене за обмеженою кількістю вимірювань, і саме є випадковою величиною. Обчислимо його математичне сподівання:
(24)
Слід зауважити, що дисперсія середнього арифметичного в п разів менша, ніж дисперсія результатів вимірювань, а вираз його середнього геометричного матиме вигляд
(25)
У зв'язку зі збільшенням кількості вимірювань (n??) . наближається до нуля. Це означає, що середнє арифметичне низки вимірювань наближається за ймовірністю до математичного сподівання і є його обґрунтованою оцінкою. Логічним наслідком оцінки істинного значення виміряної величини за допомогою середнього арифметичного значення ряду вимірювань є оцінка значень випадкових похибок між результатами і середнім арифметичним:
(26)
У міру збільшення числа вимірювань розподіл випадкових відхилень ?i асимптотично наближається до розподілу випадкових похибок. Середнє квадратичне відхилення результатів вимірювань Sx обґрунтоване, але дещо зміщене і має вигляд
(27)
Одержані оцінки (формули (4.21)-(4.27)) дають змогу записати результат вимірювання таким чином:
Q = mx±Sx.
Loading...

 
 

Цікаве