WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаТехнічні науки → Похибки вимірювань фізичних величин - Реферат

Похибки вимірювань фізичних величин - Реферат

дає уявлення про розміщення результатів вимірювання Xі відносно істинного значення вимірюваної величини Q.
Наочнішим є опис результатів спостережень і випадкових похибок за допомогою диференціальної функції розподілу ймовірностей. Вона позначається через Рх(х) і відповідно P?(?). Диференціальна функція розподілу є похідною від інтегральної засвоїм аргументом:
. (6)
Графік диференціальної функції розподілу, який називається кривою розподілу, має дзвоноподібну форму з максимумом при X = Q (рис. 3, а) і відповідно при ?= 0 (рис. 3, б).
Оскільки інтегральна функція Fx(+ ?) = 1, справедлива рівність
(7)
Рис. 3. Диференціальні функції розподілу:
а - результатів спостережень; б - випадкових похибок
Таким чином, площа, обмежена кривою диференціальної функції розподілу і віссю абсцис, дорівнює 1, а ймовірність попадання результату спостереження і випадкової похибки у заданий інтервал дорівнює цій площі.
Вирази P?(?)d? і Px(X)dx називаються елементами ймовірності. Вони дорівнюють ймовірностям того, що випадкові величини ? і Х можуть прийняти деяке значення в інтервалах d? та dx, тому по формі кривої розподілу можна сказати про те, які інтервали значень випадкових похибок більш чи менш імовірні. Для кривої розподілу випадкових похибок, показаної на рис. 3, більш імовірні малі значення похибок, які лежать навколо ? = 0. Ймовірність великих похибок значно менша.
Таким чином, результати спостережень сконцентровані навколо істинного значення вимірюваної величини, і в міру наближення до нього елементи ймовірності їх виникнення зростають. Це дає право прийняти за оцінку істинного значення вимірюваної величини координату центру тяжіння фігури, утвореної кривою розподілу і віссю абсцис, названої математичним сподіванням результатів спостережень:
(8)
Виходячи з виразу математичного сподівання, можна зробити чіткіше визначення систематичної та випадкової похибок.
Систематичною похибкою називається різниця між математичним сподіванням результатів спостережень та істинним значенням вимірюваної величини:
? = M[ X ] - Q. (9)
Випадкова похибка - різниця між результатом одиничного спостереження і математичного сподівання результатів:
? = Xі - M[ X ]. (10)
Виходячи з наведених визначень можна вивести істинне значення вимірюваної величини:
Q = M[ X ] ± Q ± ?. (11)
3. Моменти випадкових похибок
Функція розподілу результатів вимірювань чи похибок є універсальним способом опису розміщення випадкових похибок навколо істинного значення. Проте для визначення функцій розподілу необхідно виконати досить копітке наукове дослідження і складні обчислення. Тому цю роботу доцільно виконувати при розробці та дослідженні нових технічних засобів вимірювальної техніки.
Значно частіше випадкові похибки характеризуються за допомогою обмеженого числа спеціальних величин, які називаються моментами.
Початковим моментом к-го порядку результатів спостережень називається інтеграл виду
(12)
що є математичним сподіванням степені Xк. З виразу (12) видно, що початковий момент збігається з математичним сподіванням результатів спостережень.
Центральним моментом к-го порядку результатів спостережень називається інтеграл виду
(13)
який є математичним сподіванням величини (X - тх), тобто у випадкової похибки к-ї степені.
Обчислимо перший центральний момент:
(14)
Таким чином, перший центральний момент результатів спостережень дорівнює нулю.
Поряд з математичним сподіванням результатів спостережень велике значення має другий центральний момент - дисперсія розподілу результатів спостережень та похибок вимірювань, яка позначається D[X] i D[?]:
(15)
Дисперсія розподілу випадкових похибок дорівнює дисперсії розподілу результатів спостережень і характеризує їх розсіювання відносно математичного сподівання. Дисперсія розподілу зростає зі збільшенням елементів ймовірності P?(?)dx, виникненням великих значень випадкових похибок, тобто зі збільшенням розсіювання результатів спостережень.
Якщо математичне сподівання результатів спостережень у механічній інтерпретації можна розглядати як абсцису центру тяжіння фігури, обмеженої кривою розподілу та віссю абсцис, то дисперсію - як момент інерції цієї фігури відносно вертикальної осі, яка проходить через центр тяжіння.
Дисперсія розподілу має розмірність квадрата вимірюваної величини, тому вона незручна для користування. Значно частіше в розрахунках використовується позитивне значення квадратного кореня з дисперсії, яке називається середнім квадратичним відхиленням результатів спостережень:
(16)
Для характеристики розсіювання результатів спостережень найчастіше використовується математичне сподівання та дисперсія, оскільки вони визначають найважливіші ознаки розподілу: положення центру розподілу і степінь розсіювання результатів вимірювань відносно істинного значення вимірюваної величини.
У практиці вимірювань застосовуються різні закони розподілу випадкових похибок: трикутний, трапецієподібний, прямокутний, симетричний, нормальний. Проте найбільше значення має нормальний закон розподілу (закон Гаусса). Головна особливість нормального закону розподілу полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу при типових для вимірювання умовах, при п??. Теорією ймовірностей доводиться, що густина ймовірностей суми незалежних малих складових при необмеженому збільшенні їх числа наближається до нормального закону розподілу незалежно від того, які закони розподілу мали ці складові. Якщо врахувати, що випадкова похибка є результатом дії великої кількості випадкових чинників, роль кожного з яких при точних вимірюваннях невелика, то стає зрозумілим значення нормального закону в теорії вимірювань.
Найчастіше при вивченні випадкових похибок використовується нормальний закон розподілу, диференціальна функція якого описується рівнянням:
(17)
На рис. 4 подано графік нормального розподілу випадкових похибок Р(?). Крива розподілу має дзвоноподібну форму і симетрична відносно осі ОР(?). Максимальна величина ймовірностей дорівнює і досягається у точці О. В міру віддалення від точки О (вліво чи вправо) ймовірність Р(?) зменшується і асимптотично наближається до нуля, а ймовірність великих випадкових похибок зростає.
Рис. 4. Крива нормального розподілу випадкових похибок
Для диференційної функції розподілу результатів спостережень це рівняння набуває більш загального вигляду:
(18)
де тх - математичне сподівання;
?х - середнє квадратичне відхилення результатів спостережень.
Для зручності обробки результатів
Loading...

 
 

Цікаве