WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаТехнічні науки → Математичне опрацювання результатів вимірювань - Реферат

Математичне опрацювання результатів вимірювань - Реферат

вигляд:
(2.108)
Величини, обернені до дисперсій результатів спостережень, називають вагами оцінок істинного значення вимірюваної величини. Позначивши ваги
(2.109)
отримаємо середнє зважене
(2.110)
Ваги характеризують ступінь впливу результату вимірювання даної групи результатів спостереження на середнє зважене і є коефіцієнтами впливу змін розмірів на .
Деколи застосовують безрозмірні відносні вагові коефіцієнти аj :
(2.111)
для котрих має бути
Тепер вираз для середнього зваженого набуде вигляду
(2.112)
Дисперсія середнього зваженого визначається як обернена величина до суми ваг результатів вимірювання:
(2.113)
а його середнє квадратичне відхилення
(2.114)
Якщо дисперсії результатів спостережень невідомі, то для розрахунку в (2.108), (2.109) застосовують їх оцінки, отримані на підставі результатів спостережень. Вірогідна межа для похибки результату вимірювання у випадку, коли nj = 20…30 визначається через величину де і визначається з таблиці Д.2.( Додаток 12) для для нормованого нормального розподілу за заданою вірогідністю. При малих кількостях нормально розподілених результатів спостережень в групах для визначення tP користуються розподілом Стьюдента з числом ступенів свободи
(2.115)
Якщо розподіли початкових даних невідомі, то на підставі центральної граничної теореми можна припустити, що розподіл середнього зваженого є нормальним, бо воно є сумою великої кількості випадкових величин з певними дисперсіями та математичними сподіваннями.
Опрацювання результатів опосередкованих вимірювань. Визначення сумарної похибки.
При опосередкованих вимірюваннях значення шуканої величини отримують на підставі відомої залежності, що пов'язує її з іншими величинами, які вимірюються безпосередньо (прямими вимірюваннями).
Розглянемо випадок, коли опосередковано вимірювана величина є сумою або різницею величин, визначених прямими вимірюваннями.
Нехай Z=X+Y. При одноразовому вимірюванні величин X та Y результат може бути записаний
(2.116)
де - середні арифметичні; - випадкові похибки величин Z, X, Y. Оцінка істинного значення буде дорівнювати сумі оцінок а випадкові похибки разом дають випадкову похибку :
Знайдемо математичне сподівання оцінки :
(2.117)
Математичне сподівання добутку випадкових похибок називається кореляційним моментом. Він визначає взаємозалежність відхилень X i Y. Кореляційний момент у рівняннях, що визначають сумарну дисперсію, виражають через коефіцієнт кореляції
(2.118)
З врахуванням коефіцієнта кореляції рівняння () набуде вигляду
. (2.119)
Нескладно показати, що для Z=X-Y.
. (2.120)
Коли ж дисперсії випадкових величин X та Y невідомі, то користуються їх оцінками
, (2.121)
де знак плюс відповідає умові (2.119), а знак мінус - умові (2.120).
Оцінки коефіцієнта кореляції обчислюють на підставі результатів спостережень початкових величин:
(2.122)
Коефіцієнт кореляції показує наскільки добре точки XiYi апроксимуються прямою лінією. Якщо нанести на графіку точки сумісного розподілу пар XiYi в координатах X i Y, то можна отримати чотири типи графіків, показаних на рис.2.15.
Якщо rXY > 0 - додатня кореляція, то величини X i Y змінюються узгіднено в одному напрямку (рис.2.15,а), тобто збільшення одної величини супроводжується зростанням іншої, і чим ближче rXY до одиниці, тим тісніше будуть лягати точки вздовж прямої лінії, котра визначає взаємозалежність величин X i Y(рис.2.15,б).
Якщо rXY < 0, кореляція називається від'ємною (рис.2.15,в), коли збільшення одної величини тягне за собою зменшення іншої.
Якщо r = 0 (рис.2.15,г), величини X i Y є некорельованими, тобто вони незалежні. Тоді рівняння (2.119), (2.120) приймають вигляд
. (2.123)
В загальному випадку опосередковано вимірювана величина становить
собою якусь функцію
(2.124)
Розглядаючи Z як функцію m змінних Xj, можемо записати її повний диференціал
. (2.125)
Рис. 2.15. Вигляд кореляційних зв'язків величин X i Y.
Кожна із величин Xj виміряна з деякою похибкою ?Xj. Вважаючи, що похибки ?X є малими, можна замінити dXj на ?Xj :
(2.126)
У цьому виразі (2.126) кожна складова є частковою похибкою результату опосередкованого вимірювання, спричиненою похибкою ?Xj визначення величини Xj. Часткові похідні носять назву коефіцієнтів впливу відповідних похибок. Варто зауважити, що хоч формула (2.126) є приблизною, оскільки враховує лише лінійну частину приросту функції, але в переважній більшості практичних випадків вона забезпечує задовільну точність оцінки похибок результатів опосередкованих вимірювань.
Систематичні похибки ?mXj, якщо вони визначені або відомі, використовуються для визначення систематичної похибки ?mZ із врахуванням їх знаків через підставляння в (2.126). Ця ж формула використовується і для визначення граничної похибки опосередковано вимірюваної величини за граничними похибками аргументів.
Розглянемо оцінки випадкових похибок результатів опосередкованих вимірювань. Припустимо, що величини Xj виміряні із випадковими похибками ?j , що мають нульові математичні сподівання та дисперсії Знайдемо вирази для математичного сподівання і дисперсії похибки ?Z, прийнявши до уваги, (2.126):
(2.127)
де rij - коефіцієнти кореляції похибок всіх випробувань j та і, крім j=і.
Якщо похибки ?Xj некорельовані, що найчастіше буває при незалежних вимірюваннях, то
(2.128)
За оцінку опосередковано вимірюваної величини приймається величина, розрахована за такою формулою:
(2.129)
Зауважимо, що коефіцієнти впливу, наведені в формулах у випадку нелінійної функції F(.), залежать від значень величин Xj. Коефіцієнти впливу визначаються підставлянням відповідних параметрів у вираз для часткових похідних. Тому, коефіцієнти впливу визначені неточно, бо використовуються їх оцінки, а це є додатковим джерелом похибок. При експериментальному визначенні коефіцієнтів впливу також виникає похибка їх визначення.
Розглянемо два часткових випадки функції F.
1. Функція Z=F(.) є лінійною, наприклад,
(2.130)
де - bj - відомі коефіцієнти. Тоді коефіцієнти впливу , а оцінки похибок опосередковано вимірюваної величини набудуть такого вигляду:
(2.131)
2. Функція Z=F(.) піддається логарифмуванню, наприклад,
(2.132)
де Yj - дійсні числа. Продиференціювавши цей вираз отримаємо:
(2.133)
Замінивши диференціали відповідними приростами та позначивши
Loading...

 
 

Цікаве