WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаТехнічні науки → Математичне опрацювання результатів вимірювань - Реферат

Математичне опрацювання результатів вимірювань - Реферат


Реферат на тему:
Математичне опрацювання результатів вимірювань
Визначення статистичних параметрів розподілу на підставі побудови гістограми
В звичайних умовах параметри розподілу визначаються при допомозі математичного опрацювання обмеженої кількості результатів спостережень, званої вибіркою. Множина результатів спостережень, з котрих зроблено вибірку, називається генеральною сукупністю результатів спостережень. При атестації засобів вимірювання виконують обмежену кількість вимірювань одного і того ж розміру, котру також називають вибіркою. Генеральною сукупністю в цьому випадку буде множина розмірів, котрі можна було б отримати даним вимірювальним засобом при дотриманні умов вимірювання, вказаних в інструкції з експлуа тації засобу вимірювання.
Розглянемо як будуються емпіричні криві розподілу. Нехай об'єм вибірки становить п , найменший розмір хmin , найбільший - хmax. Для побудови емпіричних кривих розподілу необхідно розбити весь отриманий діапазон на r інтервалів. Число інтервалів при великих вибірках доцільно брати округленим . При великих вибірках число інтервалів встановлюють залежно від кількості спостережень за такими рекомендаціями:
n r
40-100 7-9
100-500 8-12
5000-10000 10-16
Довжину інтервалів зручніше вибрати однаковою. Але якщо розподіл має раптові стрибки в сусідніх інтервалах, то в області максимальної концентрації результатів спостережень належить вибирати вужчі інтервали. Ширина інтервалу має бути зручною для графічних робіт відносно поділок вздовж осі х. Нижню межу першого інтервалу не варто брати такою, як хmin , якщо вона не відповідає зручному положенню на осі х. При опрацюванні результатів слід віддати перевагу відхиленням розмірів, а не розмірам (для зменшення помилок при обчисленнях). Особливо великі помилки виникають при обчисленні моментів другого та вищих порядків.
Кількість розмірів m , що попали в заданий і-й інтервал за умовою
(2.71)
називається частотою. В нерівності (2.71) хj є результатом j -го спостереження вибірки, в якій - верхня межа і-го інтервалу; хін - нижня межа і-го інтервалу, яка дорівнює верхній межі -го інтервалу. Необхідно звернути увагу на те, що сума частот mi має дорівнювати кількості n, тобто
. (2.72)
Відношення частоти mi до загальної кількості спостережень п називають частістю і позначають
. (2.73)
Частість становить собою емпіричну оцінку ймовірності попадання результатів спостереження xj в j-й інтервал. Очевидно, що
(2.74)
Для наочності емпіричний розподіл подають графічно у вигляді полігона, гістограми розподілу або ступінчастої функції розподілу.
Полігон будується так: на осі абсцис відкладають інтервали значень вимірюваної величини, в середині кожного із інтервалів відзначають ординати, пропорційні до частот або частостей, і ординати з'єднують прямими лініями. Вибираючи масштаби вздовж осей абсцис та ординат дотримуються співвідношення ? 5:8, яке є найпоширенішим при зображенні кривих розподілу.
Гістограму будують таким чином: над кожним інтервалом вздовж осі абсцис будують прямокутник, площа котрого пропорційна до частості в цьому інтервалі, а висота буде пропорційною до частоти при однакових інтервалах. При різних значеннях висота прямокутника буде пропорційною до емпіричної щільності ймовірностей
(2.75)
Ступінчасту функцію розподілу будують так: в середині кожного інтервалу взжовж осі абсцис ордината зростає стрибком на значення, що відповідає , і звідти проводять горизонтальну пряму до середини наступного інтервалу, де ордината знову зростає. Висота ординати в кожній точці відповідає емпіричній інтегральній функції розподілу
(2.76)
Значення для кожного інтервалу називається кумулятивною частістю, а сума - кумулятивною частотою. За допомогою гістограми розподілу можна розраховувати параметри розподілу, застосовуючи такі формули:
для середнього арифметичного
(2.77)
для оцінки дисперсії
(2.78)
для оцінки центрального моменту третього порядку
; (2.79)
для оцінки центрального моменту четвертого порядку
; (2.80)
Проте всі розрахунки можна суттєво спростити, якщо всі відхилення розмірів виразити відносними величинами в долях (або числах) ширини інтервалу , а за початок відліку відхилень прийняти умовний нуль х0; він дорівнює середині інтервалу, який має найбільшу частоту mi.
Відносні відхилення yi будуть визначатись як віддаль від умовного нуля х0 до середини відповідного інтервалу та будуть виражатись додатними або від'ємними цілими числами : 0,1,2,3,4 і т.д.:
. (2.81)
Відносні початкові моменти визначаються тепер так:
початковий момент першого порядку
; (2.82)
початковий момент другого порядку
; (2.83)
початковий момент третього порядку
; (2.84)
початковий момент четвертого порядку
. (2.85)
Повертаючись до розмірності вимірюваної величини, отримаємо параметри розподілу:
; (2.86)
; (2.87)
; (2.88)
. (2.89)
Результати розрахунків відносних початкових моментів зручно звести в таблицю.
Визначення геометричної функції щільності розподілу
Вигляд функції теоретичного розподілу вибирають, виходячи із передбачень про фізичну природу розсіювання результатів вимірювань. При цьому треба враховувати як загальні міркування про закон розподілу, так і вигляд графічних зображень емпіричного розподілу - полігона і гістограми. Знаючи форму кривої густини теоретичного розподілу і порівнюючи її з гістограмою, приймають попередній висновок про можливість використання конкретного вигляду теоретичного розподілу.
У випадку, коли є підстави припустити, що розподіл відповідає нормальному законові, і вигляд гістограми підтверджує таке припущення, будують теоретичну криву з параметрами розподілу та , визначаючи значення густини ймовірності за формулою:
. (2.90)
Ці значення можна визначити, (якщо замінити ) за формулою
(2.91)
або з таблиці Д1 (див Додаток 12). Знайшовши низку значень для конкретних значень ti , відкладемо ці значення на осі ординат в точках, що відповідають відхиленням
. (2.92)
У випадку розбіжності теоретичної і емпіричної кривих розподілу, яке викликає сумніви щодо правильності гіпотези про закон розподілу, перевіряється узгодженість емпіричного і теоретичного розподілів.
Перевірка нормальності результатів спостереження
Для точнішого визначення відповідності емпіричного і теоретичного розподілів необхідно
Loading...

 
 

Цікаве