WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаТехнічні науки → Статистичний аналіз і оцінка похибок вимірювань - Реферат

Статистичний аналіз і оцінка похибок вимірювань - Реферат

значення
(2.46)
Така оцінка є обгрунтованою, але вона дещо зміщена, бо її математичне сподівання
(2.47)
Тому точкову оцінку дисперсії визначають за такою формулою:
(2.48)
де інколи називають емпіричною дисперсією.
Для точкової оцінки середнього квадратичного відхилення отримаємо вираз:
(2.49)
Ця оцінка характеризує збіжність результатів окремих спостережень, тобто ступінь концентрації відносно середнього арифметичного. Якщо ?х називають деколи середнім квадратичним, або стандартним, відхиленням генеральної сукупності, то sx- вибірковим середнім квадратичним відхиленням.
Середнє арифметичне має дисперсію в n разів меншу, ніж дисперсія випадкової похибки. Тому за точкову оцінку дисперсії середнього арифметичного приймають вираз:
(2.50)
Оцінка середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного описується так:
(2.51)
Маючи оцінки і результат вимірювання можна записати так:
; ; ,
що дає підстави зробити висновок про точність вимірювання: кількість вимірювань n вказує на надійність визначення і, отже, sx і на близькість до істинного значення Х.
9.7. Вірогідні інтервали для істинного значення вимірюваної величини
при невідомих параметрах розподілу результатів спостереження
Pозглянемо, як змінюється вірогідний інтервал при заданій вірогідності при оцінюванні істинного значення середнім арифметичним результатів спостереження.
Якщо результати спостережень хі розподілені нормально, то нормально розподілені і величини , а значить, і їх сума , що представляє собою середнє арифметичне .
Тому аналогічно до (2.42) може бути визначена така ймовірність: , (2.52)
де tp визначається за заданою вірогідністю. Якщо ж tp задається апріорно, то вірогідність визначається з таблиць. Вірогідний інтервал, отриманий при допомозі середнього арифметичного результатів n незалежних повторних спостережень, є в разів вужчий від інтервалу, визначеного за результатом одноразового спостереження, хоча вірогідність для обидвох є однаковою. Це свідчить про те, що збіжність росте пропорційно до кореня квадратного з числа спостережень.
Значення похибки
(2.53)
називають вірогідною межею похибки результату вимірювань, а результат вимірювання записується так:
(2.54)
Часто експериментатор перед початком вимірювань не знає значення дисперсії результатів спостережень. Тоді параметри розподілу у вигляді їх оцінок визначають безпосередньо із дослідних даних. Для цього використовується співвідношення:
(2.55)
котре називають дробом Стьюдента (псевдонім В.С.Госсета). Величини, що входять в цей вираз вираховуються на підставі дослідних даних, котрими є точкові оцінки математичного сподівання і середнього квадратичного відхилення результатів спостережень. Величина t має розподіл Стьюдента. Взагалі, величина t (квантиль Стьюдента) має задовільняти такі умови:
бути дробом такого вигляду ; (2.56)
величини x та v є незалежними;
величина x розподілена нормально;
величина v має розподіл хі-квадрат Пірсона з k степенями свободи.
При цих умовах щільність ймовірності величини t набуде вигляду:
, (2.57)
де Bk залежить тільки від числа ступенів свободи і виражається через -функцію:
. (2.58)
Розподіл (2.57) величини t називають розподілом Стьюдента з k ступенями свободи. Його функція розподілу позначається через S(t,k) і є інтегралом:
. (2.59)
Вираз (2.55) задовільняє умову (2.56) , бо розподілена нормально, є оцінкою дисперсії, що має хі-квадрат розподіл з ступенями свободи.
Знайдемо ймовірність того, що величина t, визначена за (2.55) на підставі результатів спостереження, прийме деяке значення в інтервалі :
,
або,
, (2.60)
бо є парною функцією аргумента t.
Виражаючи t через статистичні параметри розподілу інтегральної величини, отримаємо:
. (2.61)
Розподіл Стьюдента задається у вигляді таблиць значень tp для різних значень вірогідності Р в межах 0,1...0,99 при . Ці значення приведені в табл.Д.3 (Додаток 12)
Отже, за допомогою розподілу Стьюдента можна визначити із заданою вірогідністю Р вірогідні границі для істинного значення вимірюваної величини на підставі обмеженого числа спостережень. Ці границі визначаються величиною . Підсумок вимірювання записується так:
(2.62)
Розподіл Стьюдента застосовують при числі вимірювань, меншому, ніж 30. При , а практично при , розподіл Стьюдента переходить в нормальний розподіл і формула (2.61) приймає вигляд:
(2.63)
На підставі центральної граничної теореми теорії ймовірностей можна стверджувати, що при достатньо великій кількості спостережень розподіл середнього арифметичного, як суми випадкових величин хі/n, буде як завгодно близьким до нормального. Тому замість середнього квадратичного відхилення можна застосовувати його точкову оцінку . Число спостережень, при якому це стає можливим, залежить від фактичного розподілу випадкових похибок.
Отже, підсумок вимірювання за формулами (2.54), (2.62) не є одним визначеним числом. Ми отримуємо лише вказівку на смугу значень з дещо нечіткими границями, в межах котрих з деякою ймовірністю буде очікуватися істинний розмір, і показ середини інтервалу зовсім не передбачає вищу ймовірність перебування істинного значення ближче до середнього арифметичного.
Вірогідний інтервал для середнього квадратичного відхилення за емпіричними даними
Закон розподілу суми квадратів k незалежних нормально-розподілених випадкових величин з нульовим математичнимсподіванням і одиничною дисперсією носить назву хі-квадрат розподілу. Щільність ймовірності такого розподілу описується таким виразом:
, (2.64)
де k число ступенів свободи, - гама функція.
Вигляд кривих розподілу при різному числі ступенів свободи маємо на рис .2.13. Таблиці - розподілу задаються у вигляді відсоткових точок інтегральної функції розподілу
, (2.65)
де -будь-яке задане додатнє число, що залежить від P .
Для кожної ймовірності Р можемо розраховувати "Р 100%-границю", тобто таке число , при котрому
Такий розподіл має величина
, (2.66)
Рис.2.13. Криві -розподілу Рис.2.14. Криві -розподілу з вірогідним інтервалом
тобто, добуток числа ступенів свободи на відношення емпіричної дисперсії до істинної.
Оскільки величина не може бути від'ємною, то крива її інтегральної функції розподілу починається з нуля при = 0 і виглядає так:
. (2.67)
Значення що відповідають різним ймовірностям P того, що співвідношення (2.66) в даному досліді буде меншим, ніж містяться в таблиці Д.4.(Додаток 12) іі визначаються для різної кількості ступенів свободи k та ймовірностей P.
Користаючи з цієї таблиці, можна знайти вірогідний інтервал для оцінки дисперсії результатів спостережень при заданій вірогідності ?. Він визначається так, щоби ймовірність виходу дисперсії за межі інтервалу не перевищувала деяку величину , причому ймовірності виходу за обидві межі інтервалу були б однакові і мали величину . Границями такого інтервалу для ймовірностей будуть та , тобто значення і
Знаючи межі вірогідного інтервалу для, легко перейти до вірогідних інтервалів для дисперсії
(2.68)
Для середнього квадратичного відхилення межі можуть бути визначені із такого виразу:
. (2.69)
Отриманий вираз значить, що з ймовірністю істинне значення середнього квадратичного відхилення результатів спостережень лежить в інтервалі значень Sx1 і Sx2, отриманих на підставі дослідних даних. Ці границі визначаються за формулами:
(2.70)
Loading...

 
 

Цікаве