WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаТехнічні науки → Статистичний аналіз і оцінка похибок вимірювань - Реферат

Статистичний аналіз і оцінка похибок вимірювань - Реферат

теорії або допущеними спрощеннями, внаслідок чого не тільки значення, але й знаки похибок залишаються невідомими.Випадковими є невизначені за своєю величиною або недостатньо вивчені похибки, в появі різних значень котрих нам не вдається встановити закономірності. Вони визначаються складною сукупністю причин, що трудно проаналізувати. Їх значення не можуть бути передбачені, а для всього їх загалу може бути встановлена закономірність лише для частоти появи їх різних значень. Присутність випадкових похибок (на відміну від систематичних) легко виявляється при повторних вимірюваннях, як деякий розкид результатів. Переважно поява випадкових похибок є стаціонарним випадковим процесом.
Якщо значення, які може набувати випадкова величина, утворюють дискретний (скінчений або нескінчений) ряд чисел, то така випадкова величина називається дискретною. Якщо ж значення випадкової величини заповнюють цілий проміжок (скінчений або нескінчений), то випадкову величину називають неперервною.
Кожному значенню випадкової величини хп дискретного типу відповідає певна ймовірність рп її появи. Кожному проміжку (а, b) із області значень випадкової величини неперервного типу також відповідає певна ймовірність того, що значення випадкової величини буде в певному проміжку.
Співвідношення, які встановлюють зв'язок між можливими значеннями випадкових величин і їх ймовірностями, називають законом розподілу випадкової величини. Закон розподілу дискретної випадкової величини задається рядом розподілу. Тому різноманітність величин випадкових похибок характеризують вказуванням закону розподілу їх ймовірностей або вказуванням параметрів цього закону, розвинутих в теорії ймовірностей і в теорії інформації.
Випадкові похибки описуються функціями розподілу: інтегральною і диференційною.
Інтегральною функцією розподілу результатів спостережень називають залежність ймовірності того, що результат спостережень хі в і-му досліді виявиться
меншим, ніж деяке біжуче значення х від самої величини Х:
, (2.4)
де P - символ імовірності події, вказаної у фігурних дужках.
Рис.2.2. Функції розподілу: а) -інтегральна; б) -диференціальна.
Значення інтегральної функції в точці Х чисельно дорівнює імовірності того, що випадкова величини хi внаслідок і-го спостереження виявиться лівіше від точки Х. При переміщенні точки Х вздовж осі ОХ ця ймовірність буде, напевне, змінюватись, але зменшитися при переміщенні вправо вона не може. Тому інтегральна функція розподілу є неспадною функцією аргументу. Загалом її значення при переміщенні точки Х із "-" в "+" змінюється від 0 до 1. Теоретична інтегральна функція неперервна, тобто результат спостереження може мати яке завгодно наперед вибране значення з нульовою ймовірністю. Практично роздільча властивість вимірювальних засобів ділить всю область значень вимірюваної величини на відрізки, в котрих спостерігач не відрізняє зміни вимірюваної величини. Тому в межах кожного відрізка інтегральна функція розподілу зберігає постійне значення і стрибкоподібно змінюється при переході границі до якогось кінцевого значення. В цифрових вимірювальних системах ці сходинки конкретно відповідають одиницям останнього розряду, а в аналогових - якійсь часточці ціни поділки.
Але переважно згадані вище обставини не забороняють вважати інтегральну функцію розподілу результатів спостережень безперервною функцією, і це спрощує аналіз випадкових похибок.
Похибку ? можна розглядати також як випадкову величину, що приймає в різних дослідах різне значення ?і. Початок координат для похибок ? відповідає значенню Х=х. Інтегральна функція розподілу похибок відповідає інтегральній функції розподілу результатів спостережень хі:
F(?)= P{? i? ?}= P{xi-X ? x-X i} = P{xii? x}, (2.5)
В метрології при розгляданні випадкових похибок вимірювання частіше застосовують диференціальну функцію розподілу, котра є функцією, похідною від інтегральної за своїм аргументом:
px(x)= dFx(x)/dx
p?(?)= dF(?)/d?. (2.6)
Диференціальну функцію розподілу px(x) часто називають щільністю ймовірностей, а її графічну форму - кривою розподілу. Найчастіше ця крива має форму дзвона(рис.2.1).
Інтегруванням диференційної функції розподілу легко отримати інтегральну функцію:
. (2.7)
Для щільності ймовірностей мають виконуватись такі умови:
1.
2. .
Другу умову називають умовою нормування щільності ймовірностей. Це значить, що площа під кривою розподілу в межах -? ...+ ? дорівнює одиниці, або іншими словами - ймовірність появи результату спостереження у вказаному інтервалі є вірогідною подією. Розмірність щільності ймовірності випадкової величини х виражається як х-1. Добуток p(x)dx називається елементом ймовірності і він дорівнює ймовірності того, що випадкова величина х буде мати значення в інтервалі dx. Якщо крива розподілу p(x) відома, то можна визначити ймовірність попадання результату спостереження в будь-який заданий інтервал х1, х2:
. (2.8)
Знаючи інтегральну функцію розподілу, ймовірність попадання результату спостереження х у вказаний інтервал визначають різницею значень функції розподілу на межах цього інтервалу:
P{x1n0 буде виконуватись
Якщо розглядати результати окремих спостережень за випадковою величиною х1, х2, ..., хn як вибірку із великої кількості можливих спостережень, і яка характеризується математичним сподіванням та дисперсією , то для кожного значення хі буде справедливим
; .
Оскільки випадкові величини більш-менш рівноймовірно розкидані відносно математичного сподівання, то за оцінку математичного сподівання варто взяти середнє арифметичне результатів спостережень.
Середнє арифметичне результатів окремих спостережень є незміщеною оцінкою математичного сподівання випадкової величини і, отже, істинного значення, бо його математичне сподівання не відрізняється від математичного сподівання випадкової величини:
Але середнє арифметичне результатів спостережень отримано на підставі підсумовування випадкових величин , і , тому також є випадковою величиною з деякою дисперсією . Її значення визначимо як:
(2.44)
Отримана залежність відіграє важливу роль у вимірюваннях, бо вона позволяє значно підвищити точність результату вимірювання за рахунок багаторазового повторюванняспостережень.
Дисперсія середнього арифметичного із n спостережень є в n разів меншою, ніж дисперсія результатів одноразових спостережень. Для середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного отримаємо вираз:
(2.45)
тобто середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного, визначеного із n спостережень, є в разів менше, ніж середнє квадратичне відхилення результатів спостережень. Із зростанням кількості спостережень наближається до нуля. Це значить, що середнє арифметичне низки спостережень збігається за ймовірністю з математичним сподіванням та є його оцінкою. Чи буде середнє арифметичне результатів спостережень ефективною оцінкою математичного сподівання? Для цього необхідно розглянути інші незміщені оцінки, що є лінійними функціями результатів спостережень:
за умови, що . Доведемо, що серед всіх оцінок, визначених в такий спосіб, середнє арифметичне має найменшу дисперсію. Визначимо дисперсію :
Але досягне мінімуму лише тоді коли всі аі будуть однаковими і будуть дорівнювати . Тоді з оцінки отримаємо середнє арифметичне :
з дисперсією
яка є меншою від дисперсії будь-якої іншої лінійної оцінки. Отже, є ще і ефективною оцінкою математичного сподівання.
За точкову оцінку дисперсії доцільно взяти середнє значення квадрата відхилення випадкової величини від середнього
Loading...

 
 

Цікаве