WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаЕкономічна теорія → Оптимізаційні моделі - Реферат

Оптимізаційні моделі - Реферат


Реферат на тему:
Оптимізаційні моделі
Зміст
1. Моделі математичного програмування
2. Еколого-економічні моделі оптимізації
3. Задачі безумовної та умовної оптимізації та методи їх розв'язування
4. Метод Лагранжа для розв'язування задач оптимізації на умовний екстремум
Список використаної літератури
Моделі математичного програмування
Задача оптимізації полягає у знаходженні оптимального значення цільової функціїf(x) на допустимій множині D. Розв'язати оптимізацій-ну задачу - означає знайти її оптимальне розв'язування або встанови-ти, що розв'язування немає. Методи розв'язування оптимізаційних за-дач називають методами математичного програмування. Оптимізаційні моделі бувають двох типів: задачі мінімізації і задачі максимізації.
Модель оптимального планування виробництва.
Загальна постановка задачі математичного програмування з двома невідомими. Визначити максимум (мінімум) функції:
при обмеженнях:
Функція f називається цільовою. Обмеження у вигляді нерівностей називаються спеціальними обмеженнями, невід'ємність змінних у вигляді нерівностей має назву загальних обмежень задачі математичного програмування (ЗМП). Точка (Х1, Х2), яка задовольняє спеціальним і загальним обмеженням, називається допустимим розв'язуванням ЗМП. Множина всіх допустимих розв'язувань називається допустимою множиною ЗМП. Оптимальним розв'язуванням ЗМП називається точка(V, х2*), яка задовольняє умовам обмежень та цільовій функції.
Приклад. Підприємство виробляє продукцію двох видів А та В, для чого використовує сировину трьох видів: 1, 2 та 3. Для виготовлення однієї одиниці продукції А витрачається 10 одиниць сировини 1,15 одиниць сировини 2 та 20 одиниць сировини 3. Для виготовлення
однієї одиниці продукції В витрачається 30 одиниць сировини 1,20 одиниць сировини 2 та 25 одиниць сировини 3. Запаси сировини становлять: 100 одиниць сировини 1, 120 одиниць сировини 2 та200 одиниць сировини 3. Прибуток підприємства становить 20 гр. од. за одиницю продукції від виробництва однієї одиниці продукції А та25 гр. од. за одиницю продукції від виробництва однієї одиниці продукції В. Складіть такий план виробництва продукції, за якого прибуток був би максимальним (див. таблицю).
Введемо змінні: Х1 та Х2 - план виробництва продукції А та В.Будуємо модель.
Цільова функція: 20Z1 +25Z2^max.Обмеження: 10Z1 + 30Z2< 100;15Х+ 2040, ^2>0.Задачу математичного програмування з двома невідомими розв'яжемо графічним способом (рис. 1). Для цього в обмеженнях замінимо знак "min, де W(g(x-)) - штрафна функція.
Метод Лагранжа для розв'язування задач оптимізаці на умовний екстремум
Сутність методу полягає у побудові функції виду:L(xx, х2, X) =f(xv х2) + Xg(xv х2),
тобто, зведення задачі на умовний екстремум двох незалежних змінних до задачі на абсолютний екстремум функції L{xy, x2, X) трьох незалежних змінних х1, х2, X. Функція Лагранжа є сумою цільової функції та функції обмеження, помноженої на нову незалежну зміннуX (множник Лагранжа), яка має перший порядок.
Для знаходження точок умовного локального екстремуму функції за наявності обмеження слід насамперед знайти критичні точки функції Лагранжа, тобто знайти всі розв'язання системи рівнянь:
Далі критичні точки функції Лагранжа потрібно скоротити на координати X. Потім кожну одержану скорочену точку необхідно проаналізувати, чи є вона точкою умовного екстремуму функції за даних обмеженнях чи ні.
Приклад. Знайдіть екстремум функції у = х + х за умови х1 + х2-1 = 0або розв'яжіть задачу на умовний екстремум методом Лагранжа.
Запишемо функцію Лагранжа:
Знаходимо критичні точки функції Лагранжа, розв'язавши систе-му рівнянь:
Одержимо: х1 = х2 = 1/2Д = -1.
Отже, система рівнянь має єдине розв'язування, єдину критичну точку функції Лагранжа (1/2, 1/2, -1).
Для визначення, який саме екстремум має місце у критичній точці - максимум чи мінімум, потрібно проаналізувати величину:
D = AB - С2, де A, B, С - другі часткові похідні функції:
Якщо D > 0 та A < 0 і B 0 та A > 0 і B > 0, то критична точка - точка мінімуму. Якщо D 0, А>0, В>0,критична точка - точка мінімуму.
Перевіряємо, чи є скорочена критична точка точкою умовного локального екстремуму функції за наявності обмеження.
f(x1, x2) = (1/2)2 + (1/2)2 = 1/2; 1/2 + 1/2-1= 0. Отже, (x1, x2) = (1/2, 1/2).
Задача споживчого вибору як задача на умовний екстремум [1].Розглянемо модель поведінки споживача (розд. 2, п. 2.1) як зада-чу на умовний екстремум:
Для розв'язування цієї задачі застосуємо метод Лагранжа. апишемо функцію Лагранжа:
Знаходимо її перші часткові похідні за змінними x1, x2, X та прирівнюємо часткові похідні до нуля:
Виключаємо з одержаної системи трьох рівнянь з трьома невідомими параметр X, одержимо систему двох рівнянь з двома невідомими х1 та х2:
Розв'язуванням цієї системи є "скорочена" критична точка ункції Лагранжа.
Підставимо розв'язування в ліву частину першого рівняння
і одержимо відомий факт з курсу "Мікроекономіка", що у точці локальної ринкової рівноваги відношення граничних корисностей продуктів дорівнює відношенню ринкових цін p1 та р2 на ці продукти:
У рівнянні ліворуч - гранична норма заміщення першого продукту іншим (MRTS) (див. додаток).
Геометрично розв'язування задачі можна інтерпретувати як точку дотику лінії байдужості функції корисності u(x1, x2) з бюджетною прямою p1x1 + p2x2 = R (рис. 4).
Оптимум споживача
Відношення визначає тангенс кута нахилу лінії рівня функції корисності, а відношення -p уявляє тангенс кута нахилу бюджетної прямої. У точці споживчого вибору вони дотикаються.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Замков О. О., Черемных Ю. А., Толстопятенко А. В. Математические методы в экономике: Учебник. - 2-е изд. - М.:Изд-во МГУ; Дело и сервис, 1999.
2. Ляшенко І. М. Економіко-математичні методи та моделі сталого розвитку. - К.: Вища шк., 1999.
3. Малиш Н. А. Моделювання еколого-економічних систем агропромислового комплексу на території радіоактивно за-брудненого регіону. Дис... на здоб. вч. ступ. к. е. н. КНУім. Тараса Шевченка, 1993.
4. Рюмина Е. В. Экологический фактор в экономико-математических моделях. - М.: Наука, 1980.
5. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИ-ТИ-ДАНА, 2000.
Loading...

 
 

Цікаве