WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаЕкономічна теорія → Методи оцінювання параметрів систем рівнянь - Реферат

Методи оцінювання параметрів систем рівнянь - Реферат


Реферат на тему:
Методи оцінювання параметрів систем рівнянь
Як зазначалося, застосування звичайного МНК до рівнянь структурної форми системи рівнянь призводить до отримання зміщених оцінок параметрів через корельованість (залежність) змінних і залишків моделі, що є порушенням однієї з передумов застосування МНК. Перехід від структурної форми моделі до скороченої є одним із способів, що усуває проблему корельованості, однак породжує іншу, а саме проблему ідентифікованості окремих рівнянь системи, а також системи загалом.
Залежно від розв'язання цієї проблеми, тобто після перевірки умови ідентифікованості кожного рівняння системи, застосовують такі методи:
1) якщо кожне рівняння системи точно ідентифіковане, то параметри зведеної моделі оцінюють непрямим методом найменших квадратів (НМНК); ідея методу полягає в тому, щоб від структурної форми перейти до зведеної, звичайним МНК оцінити параметри останньої й оберненим перетворенням отримати оцінки параметрів структурної форми;
2) усунути кореляцію між змінними та залишками моделі можна також за допомогою методу інструментальних змінних, ідея якого полягає в тому, щоб змінні, що корелюють із залишками, замінити іншими - інструментальними, які тісно пов'язані з незалежними змінними моделі, але зовсім не пов'язані з її залишками;
3) якщо рівняння структурної форми моделі надідентифіковані, то параметри моделі оцінюють за допомогою двокрокового методу найменших квадратів (2МНК), що передбачає виконання двох етапів:
а) перший - ендогенні змінні "звільняють" від стохастичних залишків;
б) другий - оцінені рівняння підставляють у структурну систему рівнянь, до яких потім застосовують звичайний МНК;
4) трикроковий метод найменших квадратів для одночасного оці-нювання всіх рівнянь системи за певних обставин ефективніший по-рівняно з непрямим і двокроковим МНК.
Непрямий метод найменших квадратів оцінювання параметрів точно ідентифікованих систем
Оскільки на основі звичайного МНК неможливо отримати якісні оцінки параметрів системи одночасних рівнянь, варто скористатися іншими методами оцінювання параметрів. Одним із них є непрямий метод найменших квадратів, що грунтується на використанні зведе-них рівнянь.
Для ілюстрації НМНК розглянемо кейнсіанську модель форму-вання прибутків:
У зведеній формі ця модель має вигляд
Тоді замість останніх співвідношень отримаємо
Через те, що обсяг інвестицій Zt є екзогенною змінною моделі, ця змінна не корелює з випадковим залишком vt у зведеній формі систе-ми рівнянь, а отже, і з залишками vt останньої системи. Це означає, що для випадкового члена vt виконуються передумови
Визначення оцінок за зазначеною схемою називається непрямим ме-тодом найменших квадратів. Зміст такої назви очевидний: перш ніж за-стосувати звичайний МНК, початкову систему перетворили до зведеної форми, за МНК-оцінками якої визначили оцінки початкової системи.
Оцінки параметрів a0 та a1, отримані за НМНК, є обгрунтованими, атому при великих вибірках існує висока ймовірність, що вони наближатимуться до істинних значень параметрів.
Зазначимо, що в цьому разі оцінки визначаються точно, а регре-сійне рівняння в розглянутій моделі доходу є ідентифікованим (однозначно визначеним).
Отже, при непрямому МНК виконуються такі кроки:
1) перевіряється умова ідентифікованості для кожного рівняння структурної форми. Якщо всі рівняння точно ідентифіковані, то виконується наступний крок, інакше застосовується інший метод;
2) вихідна структурна система рівнянь перетворюється до зведе-ної форми;
3) оцінюються за МНК параметри рівнянь у зведеній формі;
4) на основі оцінок, знайдених для зведеної форми, обчислюються параметри структурних рівнянь за допомогою обернених перетворень.
Приклад. Розглядається модель "попит - пропозиція":
де qt, pt - ендогенні змінні (кількість товару і ціна в році t); e1t, E2t -випадкові відхилення; yt - екзогенна змінна (прибуток споживачів). На підставі наступних статистичних даних необхідно оцінити коефіцієнти функції пропозиції, використовуючи МНК і НМНК. Порівняти результати.
Побудуємо зведені рівняння зазначеної системи, віднявши від функції пропозиції функцію попиту. Отримаємо
звідки
Неважко помітити, що функція пропозиції точно ідентифікована. Оцінки b1 і b0 параметрів р1 і р0 можуть бути визначені на основі оцінок коефіцієнтів таких рівнянь:
За наявними статистичними даними оцінимо коефіцієнти зведе-них рівнянь:
Отже, функція пропозиції має вигляд
Водночас розраховані безпосередньо за МНК оцінки даного рівняння становитимуть:
тобто функція пропозиції має вигляд
За отриманими результатами можна зробити висновок про те, що застосування МНК у невідповідних ситуаціях може істотно спотво-рити картину залежності.
Метод інструментальних змінних
Іще одним способом усунення корелювання пояснюючої змінної з випадковим відхиленням є метод інструментальних змінних.
Сутність цього методу полягає в заміні змінної, що корелює із залишками, інструментальною змінною (ІЗ), яка повинна мати такі властивості:
- корелювати (бажано значною мірою) із заміненою поясню-ючою змінною;
- не корелювати з випадковим відхиленням.
Опишемо схему використання ІЗ на прикладі парної регресії, у якій
Змінну X замінюють змінною Z такою, що cov(Z;X)*0 cov(Z,e) = 0. Принципи використання ІЗ передбачають виконання таких умов:
Відповідні вибіркові оцінки даних умов такі:
У розгорненому вигляді остання система має вигляд
Нехай зі збільшенням обсягу вибірки D(X) прямує до деякої скінченної межі а2 , а коваріація cov(Z,X) - до скінченної межі
Покажемо, що в цьому разі b прямує до істинного значення ? 1. З останньої системи маємо
Тут ми скористалися такими співвідношеннями: cov(Z,?0) = 0, тому що ?0 = const; cov(Z,? 1X) = ? 1 cov(Z,X). При великих обсягах вибірки розподіл b13 прямує до нормального:
Двокроковий метод найменших квадратів оцінювання параметрів надідентифікованих систем
Опис цього методу супроводимо прикладом його використання для моделі рівноваги на ринках товарів і грошей (IS-LM) для закри-тої економіки при фіксованій податковій ставці t
Перше рівняння системи є перевизначеним (щодо змінної r). Щоб оцінити його коефіцієнти, рекомендується скористатися двокроковим методом найменших квадратів (2МНК), суть якого полягає у використанні як із оцінки перевизначеної змінної, отриманої на базі екзогенних (чи заздалегідь визначених) змінних моделі.
Крок 1.
У першому рівнянні цієї системи перевизначеною змінною є про-центна ставка r. її можна оцінити, спираючись лише на екзогенні змінні (наприклад, віднімаючи від другого співвідношення перше):
(Як вправу пропонується знайти коефіцієнти Х0, X1, X2, Х3 і v.) Застосовуючи для (8.30) МНК, отримуємо оцінку г змінної r:
де f - умовна середня при фіксованих .значеннях M, G, t. Крок 2. Підставляючи оцінку у друге рівняння системи, маємо
Ця заміна дає змогу розв'язати таку істотну проблему перевизна-чених моделей, як корельованість пояснюючої змінної з випадковим членом (нагадаємо, що така корельованість призводить до отримання зміщених і необгрунтованих оцінок). Дійсно, оцінка ? виражаєть-ся лише через екзогенні змінні, а отже, не корелює з випадковим відхиленням. Фактично її можна розглядати як нову екзогенну змінну.
Якщо модель містить більш як одну перевизначену змінну, на пер-шому етапі необхідно оцінити всі такі змінні.
2МНК має певні властивості, що зумовлюють його широке прак-тичне застосування.
1. У даному методі перший етап (етап побудови зведених рівнянь) виконується для частини перевизначених рівнянь, не зачіпаючи інші рівняння моделі. Це дає змогу мінімізувати обсяг обчислень.
2. За наявності перевизначених рівнянь 2МНК на відміну від МНК визначає єдині
Loading...

 
 

Цікаве