WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаЕкономіка (різне) → Метод інструментальних змінних - Реферат

Метод інструментальних змінних - Реферат

Реферат на тему:

Метод інструментальних змінних

Властивості оцінок моделі при стохастичних змінних

У попередніх розділах, розглядаючи модель

ми виходили з припущення, що змінні X є детермінованими і набувають значення з деякої множини фіксованих чисел. Проте, виходячи з економічних досліджень, доцільно замінити це припущення на менш жорстке, згідно з яким змінні X є стохастичними. У такому разі постає запитання, чи справджуватимуться й тоді основні результати, що стосуються перевірки значущості, довірчих інтервалів і т.ін. За умови, що змінні X мають функцію розпoділу, жодним чином не пов'язану з параметрами a і , і що всі ці змінні розподілені незалежно від залишків u, переважна більшість цих результатів виконуватиметься і для тих економетричних моделей, які мають стохастичну матрицю пояснювальних змінних X.

Нехай — оцінка скалярного параметра a. Верхній його індекс вказує на розмір вибіркової сукупності, на основі якої оцінені ці параметри.

Означення 9.1. Сукупність оцінок спостережень називається послідовністю оцінок:

.

Означення 9.2.Якщо послідовність математичного сподівання параметрів прямує до деякої константи, то ця константа є асимптотичним сподіванням, тобто .

Означення 9.3.Граничне значення послідовності дисперсій для називається асимпотичною дисперсією

Оскільки для n  вираз у правій частині може дорівнювати нулю, то дисперсія являє собою єдину точку, а саме .

Визначимо асимптотичні властивості оцінок 1МНК у загальній лінійній моделі зі стохастичними пояснювальними змінними:

де X — незалежна щодо всіх і кожного з елементів вектора u,тобто:

а) (9.1а)

б) (9.1б)

в) . (9.1в)

Крім того, припустимо, що виконуються такі рівності:

а) ; (9.2а)

б) ; (9.2б)

в) . (9.2в)

Припущення (9.2а) означає: дисперсія стала для всіх залишків.

Припущення (9.2б) стверджує існування границі за ймовірністю для дисперсій (других моментів) змінної X, які утворюють матрицю .

Припущення (9.2в) має такий зміст: границя за ймовірністю коваріацій між змінними X і залишками u дорівнює нулю.

Оцінка параметрів a 1МНК подається у вигляді

.

Звідси

.

Отже, оцінка , здобута з допомогою 1МНК, є обгрунтованою.

Асимптотична матриця коваріацій для така:

,

або

(9.3)

Оскільки

,

а (9.4)

де ,

то 1МНК забезпечує обгрунтовану оцінку асимптотичних дисперсій і коваріацій помилок, коли в моделі пояснювальні змінні є стохастичними.

Дуже часто на практиці змінні X не можуть бути повністю незалежними від u, як це припускалося раніше. Наприклад, однією з пояснювальних змінних може бути лагове значення залежної змінної Y, що може призвести до зміщення оцінки 1МНК для кінцевих вибіркових сукупностей.

Розглянемо модель

, (9.5)

де .

Оскільки впливає на , а впливає на , то і впливає на навіть тоді, коли послідовні значення залишків незалежні. Але коли значення є незалежними, то зворотна залежність, тобто залежність між і , може бути відсутня. Як ми бачили, обгрунтованість оцінки 1МНК залежить від двох припущень:

1)

2)

Для (9.5) друга умова має вигляд

Коли , то можна сказати, що . А це означає, що для моделі, яка містить лагові значення залежної змінної, можна чекати, що оцінка 1МНК буде обгрунтованою.

Метод інструментальних змінних

Якщо одна чи більше зі змінних Х гранично корелює із залишками, тобто

,

то це означає, що оцінки 1МНК необгрунтовані. Зауважимо, що навіть коли один елемент вектора , ми можемо дістати всі елементи векторa необгрунтованими.

Кореляція між пояснювальними змінними і залишками є досить серйозною перепоною для застосування 1МНК. Така кореляція може виникнути з різних причин, але основними є три:

1) помилки вимірювання пояснювальних змінних;

2) побудова економетричної моделі за системою одночасових рівнянь;

3) наявність в економетричній моделі лагових змінних.

До лагових пояснювальних змінних відноситимемо такі змінні, які впливають на залежну змінну через певний проміжок часу. Наприклад, якщо залежна змінна в період t залежить від рівня тієї самої змінної в період , то ця змінна входить до переліку пояснювальних змінних моделі, які в такому разі стають стохастичними. Вони включають лагову залежну змінну, яка є стохастичною і має зв'язок із залишками.

При існуванні кореляції між пояснювальними змінними і залишками можна застосувати поширений альтернативний метод оцінювання, який називається методом інструментальних змінних.

Розглянемо модель

, (9.6)

для якої

.

Припустимо, що існує матриця Z порядку n m, яка має такі властивості:

1) ; (9.7)

2) , (9.8)

де матриця — невироджена і, крім того, існує границя

(9.9)

Отже, припускається, що змінні Z гранично некорельовані із залишками u, а їх перехресні моменти зі змінними X не всі дорівнюють нулю і створюють невироджену матрицю. Якщо деякі зі змінних X не корелюють із залишками u, то їх можна використовувати для формування стовпців матриці Z і знаходити додаткові інструментальні змінні лише для тих стовпців, що залишилися.

Оператор оцінювання вектора a з допомогою інструментальних змінних можна записати так:

(9.10)

Щоб дістати його, помножимо ліворуч модель (9.6) на :

(9.11)

Оскільки , то

Звідси дістаємо оператор оцінювання (9.10), який забезпечує визначення обгрунтованої оцінки, у чому можна переконатися, підставивши (9.6) у (9.10). маємо:

;

Асимптотична матриця коваріацій

(9.12)

На практиці (9.12) обчислюють так:

(9.13)

де .

Реальна трудність застосування цього методу полягає в знаходженні змінних, які можна використовувати як інструментальні. Істиний розподіл їх встановити практично неможливо, а тому важко переконатися, що вибрані інструментальні змінні справді не корелюють із залишками. Водночас ці змінні повинні мати досить високу кореляцію зі змінними X, бо в противному разі вибіркові дисперсії для оцінок, здобутих за допомогою інструментальних змінних, будуть дуже великими.

Коротко вимоги до інструментальних змінних Z можна сформулювати так:

1) Z тісно пов'язані з X;

2) Z зовсім не пов'язані із залишками u.

Визначення інструментальних змінних

Розглядаючи способи визначення інструментальних змінних, скористаємося найпростішими економетричними моделями, які використовувались в різних операторах оцінок.

9.3.1. Оператор оцінювання Вальда

Нехай економетрична модель має вигляд

(9.14)

У такому разі, якщо вибіркова сукупність містить парне число спостережень, то матриця інструментальних змінних Z запишеться так:

Щоб визначити другий рядок цієї матриці, необхідно виконати такі дії

1. знайти відхилення кожного елемента вектора X від медіани.

Матриця пояснювальних змінних для цієї моделі запишеться у вигляді:

Матриця інструментальних змінних на основі даної матриці замість рядка пояснювальної змінної міститиме рядок інструментальної.

2. величини відхилень, що мають знак "плюс", замінюються на одиниці, величини відхилень, що мають знак "мінус", — на одиниці з цим знаком.

Використовуючи оператор оцінювання

,

маємо:

(9.15)

де і характеризують середні відхилення значень X відповідно вгору і вниз від медіани, а і — середні значення залежної змінної, які відповідають середнім і . Звідси

(9.16)

Це означає, що параметр у моделі (9.14) подається у вигляді:

(9.17)

причому

Loading...

 
 

Цікаве