WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаЕкономіка (різне) → Автокореляція - Реферат

Автокореляція - Реферат

10. Визначаємо оцінку параметрів моделі, скориставшись оберненою матрицею S–1, яка має вигляд:

.

Підставивши  = 0,77, дістанемо:

Вектор оцінок параметрів моделі:

.

Отже, і економетрична модель подається у вигляді

(2)

Порівнявши обидві економетричні моделі (1) і (2), побачимо, що при оцінюванні параметрів методом Ейткена доцільніше користуватись матрицею, коли коваріація залишків для відсутня. У такому разі побудова моделі спрощується, а точність оцінок не зменшується.

Метод перетворення вихідноїінформації

Випадок, коли залишки задовольняють авторегресійну модель першого порядку, допускає альтернативний підхід до пошуку оцінок параметрів моделі за допомогою двокрокової процедури:

1) перетворення вихідної інформації при застосуванні для цього параметра ;

2) застосування 1МНК для оцінки параметрів на основі перетворених даних.

Для цього треба знайти матрицю перетворення T, щоб модель

(8.23)

мала скалярну дисперсійну матрицю

Розглянемо матрицю T1 розміром n n:

(8.24)

Безпосереднім множенням легко переконатись, що

А це означає, що можна застосувати 1МНК до перетворених даних і , які мають вигляд

Іноді для перетворення вихідної інформації використовується матриця розміром (n – 1)  n, яка отримується з матриці внаслідок викреслювання першого рядка:

Неважко показати, що застосування 1МНК до даних і дає таку саму оцінку параметрів моделі, як і метод Ейткена, а для даних і — забезпечує порівняно добру апроксимацію.

У загальному випадку, коли ми не маємо інформації ні про порядок авторегресійної моделі, ні про значення параметрів у ній, а через це не можемо застосувати ні метод Ейткена, ні метод перетворення вихідної інформації, в економетричній літературі пропонуються наближені методи Кочрена — Оркатта і Дарбіна.

Приклад 8.3. Згідно з даними, які наведено в табл. 8.1 (приклад 8.2), необхідно оцінити параметри економетричної моделі, яка має автокорельовані залишки, методом перетворення вихідної інформації.

Роз'язання.

1. Сформуємо матрицю T1 для перетворення вихідних даних:

.

2. Перетворимо змінні Yt, Xt на основі матриці T1:

3. Для перетворених даних скористаємося оператором 1МНК:

.

Позначимо , . тоді маємо

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

Звідси економетрична модель:

(3)

Оцінки параметрів моделі, які визначені згідно з методом перетворення вихідної інформації, не відрізняються від оцінок, здобутих методом Ейткена при різних матрицях коваріацій залишків. Це означає, що обидва методи є альтернативними, коли залишки — стаціонарні марковські процеси.

Дещо відрізняються одна від одної оцінки параметрів моделі, якщо для перетворенння вихідних даних використовується матриця Т2. Так, вектор оцінок

Звідси економетрична модель:

(4)

Метод Кочрена — Оркатта

Нехай задано економетричну модель

(8.25)

Перетворивши вихідну інформацію за допомогою , дістанемо:

(8.26)

У цій моделі залишки мають скалярну дисперсійну матрицю.

Сума квадратів залишків на основі (8.26) визначатиметься співвідношенням

(8.27)

Безпосередня мінімізація функції (8.27) приводить до системи нелінійних рівнянь, тому аналітичний вираз оцінок параметрів , і дістати важко.

Метод наближеного пошуку параметрів , і , які мінімізують суму квадратів (8.27), дає ітеративний метод, запропонований Кочреном і Оркаттом і названий на їхню честь.

Опишемо його алгоритм.

Крок 1.Довільно вибирають значення параметра , наприклад Підставивши його в (8.27), обчислюють і .

Крок 2.Поклавши і , підставимо їх у (8.27) і обчислимо

Крок 3.Підставивши в співвідношення (8.27) значення , знайдемо і .

Крок 4.Використаємо і для мінімізації суми квадратів залишків (8.27) за невідомим параметром . Процедура триває доти, доки наступні значення параметрів , і не будуть відрізнятись менш як на задану величину.

Цей ітеративний метод, як і інші подібні процедури, має дві проблеми:

а) збіжності;

б) характеру знайденого мінімуму — локальний чи глобальний.

Проведені дослідження за цими двома проблемами показали, що в результаті застосування методу Кочрена — Оркатта завжди знаходимо глобальний оптимум і алгоритм забезпечує порівняно добру збіжність.

Часто пропонується альтернативний підхід до використання цього ітеративного методу.

На відміну від попереднього, у ньому подальші ітерації припиняються тоді, коли на основі критерію Дарбіна — Уотсона робиться висновок про відсутність автокореляції залишків.

Розглянемо алгоритм

Крок 1. Приймається гіпотеза і мінімізується на основі 1МНК сума квадратів: . Отже, так само й далі обчислюються параметри для моделі (8.25).

Крок 2.Знаходяться залишки і на основі критерію Дарбіна — Уотсона перевіряється нульова гіпотеза відносно автокореляції залишків. Якщо гіпотеза відхиляється, то переходять до кроку 3.

Крок 3. На даному кроці мінімізується сума квадратів відхилень:

де і — оцінки параметрів, знайдені на першому кроці 1МНК. У результаті параметр визначається як коефіцієнт регресії залишків, знайдених 1МНК, на їх лагові змінні, які стосуються минулого періоду.

Крок 4. Використовуючи значення оцінки параметра , визначають оцінки параметрів і на основі 1МНК, який застосовується до перетворених даних і .

Крок 5. Визначаються залишки і перевіряються на наявність автокореляції. Якщо гіпотеза про наявність автокореляції відхиляється, то ітеративний процес припиняється. У противному разі переходимо до кроку 3, де використовуються знайдені оцінки параметрів і .

Коли ітеративний процес припиняється, то виконується перевірка значущості параметрів з допомогою останньої економетричної моделі. У такому разі звичайні формули дадуть обгрунтовані оцінки дисперсій залишків.

Метод Дарбіна

Дарбін запропонував просту двокрокову процедуру, яка також дає оцінки параметрів, вони асимптотично мають той самий вектор середніх і ту саму матрицю дисперсій, що й оцінки методу найменших квадратів.

Крок 1. Підставимо значення залишків, яке підпорядковане авторегресійній моделі першого порядку до економетричної моделі . Тоді дістанемо , де .

Звідси

де має скалярну матрицю дисперсій.

Згідно з 1МНК визначаються параметри цієї моделі, куди входить і коефіцієнт . У результаті обчислень маємо .

Крок 2. Значення використовується для перетворення змінних і , а 1МНК застосовується до перетворених даних. Коефіцієнт при є оцінкою параметра , а вільний член, поділений на , оцінює параметр .

Метод Дарбіна дуже просто поширюється на випадок кількох незалежних змінних і для автокореляції вищих порядків.

Нехай задано модель

(8.28)

де .

Підставивши значення в (8.28), дістанемо:

Застосувавши 1МНК, обчислимо параметри цієї моделі. Коефіцієнти і використаємо для перетворення даних:

Знову застосуємо 1МНК для цих перетворених даних і знайдемо оцінки параметрів моделі ,

Описаний щойно ітеративний метод Кочрена — Оркатта і розглянута двокрокова процедура Дарбіна за наявності автокореляції залишків асимптотично ефективіший, ніж 1МНК.

Але при цьому постають два важливі запитання:

1) Чи будуть ці методи ефективнішими, ніж 1МНК для малих вибіркових сукупностей?

2) якою — однаковою чи різною — буде ефективність застосування методів Кочрена — Оркатта і Дарбіна для малих вибірок?

Числовий аналіз, виконаний Гриліхесом і Рао з [1] за допомогою методу Монте-Карло, дав відповідь на ці запитання.

Висновок 1. 1МНК дає менш ефективні оцінки порівняно з іншими методами, якщо сукупність спостережень n = 20одиниць, а > 0,3.

Висновок 2. Якщо < 0,3, то зниження ефективності оцінок 1МНК порівняно зі складнішими процедурами невелике.

Висновок 3. Метод Дарбіна забезпечує найкращу оцінку для ширшого кола параметрів порівняно з іншими методами.

Висновок 4. Нелінійний метод оцінювання параметрів не дає відчутних переваг порівняно з двокроковою процедурою Дарбіна.

Теоретичні дослідження прогнозу в разі порушення умови (4.3) було розглянуто в розд. 7.

Loading...

 
 

Цікаве