WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаЕкономіка (різне) → Системи лінійних рівнянь - Реферат

Системи лінійних рівнянь - Реферат

Реферат на тему:

Системи лінійних рівнянь

Запишемо систему рівнянь у матричному вигляді

АХ = В, (3.32)

де

Матриця А є квадратною порядку n; вектор-стовпець Х має розмір n 1; вектор-стовпець В — порядок n 1.

Якщо матриця А невироджена, тобто rgA = n і , то система лінійних рівнянь (3.32) має єдиний розв'язок виду

(3.33)

Приклад 3.5. Знайти розв'язок системи

У матричному виді:

AX = B;

отже,

.

= –2 – 15 = –17 — матриця невироджена.

Запам'ятайте: для матриці обернена матриця має вигляд .

.

Отже,

Розв'язок системи: = 1; = 3.

Розглянемо однорідну систему лінійних рівнянь:

АХ = 0 (3.34)

Нехай А — квадратна матриця n-го порядку; Х — вектор-стовпець розміру n 1.

Тривіальний розв'язок має вигляд: . Нетривіальний розв'язок може існувати лише за умови, що визначник матриці А дорівнює нулю:

Коли це так, то система матиме безліч розв'язків. Їх можна нормувати, вимагаючи, наприклад, щоб виконувалася рівність

(3.35)

Приклад 3.6. Знайти нетривіальні розв'язки однорідної системи рівнянь.

(3.36)

, це означає, що задана система має нетривіальні розв'язки.

Матрицю А можна записати як систему трьох векторів:

Систему (3.36) подамо як лінійну комбінацію вектора :

(3.37)

Неважко побачити, що ; розв'язками системи (3.36) будуть і ці самі значення, помножені на будь-які числа, які задовольняють рівняння (3.37). Отже, система векторів є лінійно залежною, причому розв'язки системи лінійних рівнянь (3.36) є коефіцієнтами лінійної комбінації вектора :

(3.38)

Характеристичні (власні) корені і власні вектори матриць

Розглянемо систему рівнянь

(3.39)

де — скаляр; А — квадратна матриця порядку n, X — розміром n 1.

Систему (3.39) запишемо у вигляді

або

(3.40)

Остання система n рівнянь з n невідомими має нетривіальний розв'язок, коли

або (3.41)

Означення 3.21. Рівняння відносно називають характеристичним рівнянням матриці А.

Корені цього рівняння  є характеристичними коренями (характеристичними числами, власними значеннями) матриці А.

Візьмемо будь-який корінь характеристичного рівняння (3.41) і підставимо в систему рівнянь (3.40). Дістанемо рівняння

(3.42)

яке має нетривіальний розв'язок, оскільки .

Нехай цим розв'язком є вектор . Такий вектор є характеристичним, або власним, вектором матриці А, який відповідає характеристичному кореню.

Якщо матриця А має n різних характеристичних коренів, то припускатимемо, що вона має і nрізних власних векторів (задачі, які мають кратні характеристичні корені, в економіці зустрічаються рідко).

Власні вектори визначаються з точністю до множення на скаляр. Це не завжди зручно. Тому часто розглядають нормовані власні вектори, тобто такі що:

.

Зауважимо, що коли матриця А в рівнянні (3.40) — симетрична (тобто ), а Х — матриця, кожний стовпець якої є власним вектором цієї матриці, то добуток

(3.43)

Отже, якщо власні вектори матриці А розміщені у вигляді стовпців матриці Х, то добуток перетворює матрицю А на діагональну матрицю, яка має характеристичні корені на головній діагоналі.

Приклад 3.7. Знайти характеристичні корені матриці А.

Запишемо рівняння або

(3.44)

Запишемо характеристичне рівняння для системи (3.44):

(3.45)

Отже,

. (3.46)

Нехай матриця А — симетрична, тоді і характеристичні корені цієї матриці

. (3.47)

Підставивши поступово в систему (3.44), знайдемо власні вектори X1, X2 матриці А.

Приклад 3.8. Знайти характеристичні корені і власні вектори X1, X2 матриці А:

.

Матриця А симетрична. Для визначення застосуємо (3.47):

Щоб знайти власні вектори i , розв'яжемо для кожного систему рівнянь (3.44).

Нехай, тоді

(3.48)

Нормалізуємо вектор , зводячи його довжину до 1, тобто:

(3.49)

Підставимо (3.48) в (3.49):

Звідси,

Власний вектор

(3.50)

Для знаходження власного вектора покладемо .

Система (3.44) запишеться у вигляді

(3.51)

Нормалізуємо вектор , звівши його довжину до 1, тобто:

(3.52)

Підставивши (3.52) у (3.51), дістанемо:

Власний вектор

(3.53)

Зауважимо, що оскільки , то власні вектори X1 і X2 ортогональні, тобто лінійно незалежні:

Перевіримо, чи виконується (3.43):

Отже, співвідношення справді переводить матрицю А в діагональну матрицю . Це підтверджує правильність наведених обчислень.

Квадратичні форми

Означення квадратичної форми

Означення 3.22. Квадратичною формою від n невідомих називається сума, кожний доданок якої є квадратом одного з цих невідомих або добутком двох різних невідомих:

(3.54)

Коефіцієнти членів розміщені на головній діагоналі матриці А, а інші елементи матриці симетричні і дорівнюють відповідно половинам коефіцієнтів при :

Симетричну матрицю називають матрицею квадратичної форми. У векторно-матричній формі квадратична форма має вигляд , де , A — симетрична матриця.

Розглянемо, наприклад, два випадки.

1. Матриця А має розмір 2 2, а саме . Тоді квадратична форма

2. Матриця А діагональна, тобто

У такому разі

— вагова сума квадратів.

Означення 3.23. Квадратичну форму і відповідну їй матрицю А називають додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли для всіх дійсних .

Означення 3.24. Квадратичну форму і відповідну їй матрицю називають додатно напіввизначеною, коли для всіх Х.

Запам'ятайте важливу властивість додатно визначених матриць.

Матриця А додатно визначена тоді і тільки тоді, коли її характеристичні корені (власні значення) додатні, а саме:

(3.55)

Рівняння (3.55) можемо пристосувати для знаходження іншого результату, який корисний при вивченні узагальненого методу найменших квадратів.

Оскільки всі додатні, можемо задати діагональну матрицю D такого виду:

(3.56)

Неважко побачити, що добуток (3.55) на матрицю D ліворуч і праворуч дає одиничну матрицю:

(3.57)

Нехай Z = XD, тоді

(3.58)

Оскільки матриці Х і D — невироджені, то Z — також невироджена. Виконавши відповідні перетворення, дістанемо:

(3.59)

Отже, коли матриця А додатно визначена, то можна знайти таку невироджену матрицю , що .

Випадкові квадратичні форми

Нехай d — випадковий вектор, А — детермінована симетрична матриця.

Добуток називають випадковою квадратичною формою, коли коваріаційна матриця d дорівнює і математичне сподівання M (d) = 0.

Застосувавши оператор математичного сподівання до випадкової квадратичної форми , дістанемо:

(3.60)

де tr (A) — слід матриці А.

Наведемо властивості випадкової квадратичної форми.

Означення 3.25. 1. Квадратична форма має розподіл із k ступенями свободи тоді і тільки тоді, коли А — ідемпотентна матриця (тобто ) і rgA = trA = k .

2. Нехай В — детермінована матриця, така що BA = 0 і . Тоді і — незалежні.

3. Якщо — симетрична матриця, то слід матриці А є сумою її власних значень

4. Усі власні значення ідемпотентної матриці А дорівнюють нулю або одиниці, а саме:

якщо то ; проте , тобто , оскільки , то . Звідси або .

5. Матриця є ідемпотентною, rgA = 1 і матриця Z має таку властивість, що () — квадратна симетрична невироджена матриця.

Приклад 3.9. Нехай ; тоді ;

,

отже, матриця — невироджена.

.

Визначимо нову матрицю А так:

.

Матриця А — симетрична та ідемпотентна, оскільки . Зауважимо, що ранг матриці А дорівнює 1.

Знайшовши характеристичні корені цієї матриці, тобто розв'язавши рівняння , дістанемо = 1 і = 0 кратності 2, що ілюструє виконання властивості 4.

Диференціювання функції багатьох змінних(градієнт функціі f (x) )

Розглянемо операцію диференціювання функції багатьох змінних f (x1,x2... xn), коли змінні задано у формі матриці-рядка, або, що те саме, вектора, тобто X = (x1, x2... xn. Тоді можна коротко записати f (x) = (x1, x2 ... xn.

Loading...

 
 

Цікаве