WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаЕкономіка (різне) → Елементи матричних перетворень - Реферат

Елементи матричних перетворень - Реферат

(3.19)

де — визначник матриці А; J — так звана приєднана до А матриця. Вона складається з алгебраїчних доповнень до елементів матриці А, а саме:

Отже,

(3.20)

Наведемо основні властивості оберненої матриці:

а);

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Дамо означення ще одного типу матриць. якщо матрицю називають ортогональною.

Приклад 3.2. Знайти матрицю обернену до матриці А:

(див. підрозд. 3.3).

Визначимо приєднану матрицю J:

Отже,

Тоді

Перевіримо, чи справді матриця є оберненою до матриці А. Знайдемо або ; у результаті має бути одинична матрицю Е. Отже, перевіряється рівність = = E:

Блочні матриці. Дії з блочними матрицями

Визначення блочних матриць

В цілому ряді випадків доцільно великі матриці розбивати вертикальними і горизонтальними прямими на кілька частин. Наприклад, нехай матриця А має порядок 56:

(3.21)

(3.21)

Розіб'ємо її на чотири підматриці:

Тоді матрицю А запишемо:

(3.22)

Таким чином, маємо два різні записи однієї і тієї ж матриці А. В (3.22) матриця А складається з блоків елементів, або підматриць, тому таку матрицю часто називають блочною. Розбиття матриці роблять так, щоб підматриці, які стоять поруч (–;–), мали б рівну кількість рядків (відповідно r; m – r), а підматриці, які розміщені одна під одною (–;–), — рівну кількість стовпців, а саме: s; n – s (3.21).

Неприпустимі такі розбиття матриць, схеми яких показані на рис. 3.2 і 3.3.

Дії з блочними матрицями

а) Додавання матриць.

Нехай маємо блочні матриці А i B одного і того ж порядку та однаково розбиті:

Матриця є також блочною матрицею того ж порядку, що й матриці А i B:

(3.23)

Таким чином, при додаванні (відніманні) блочних матриць насамперед має виконуватись умова, що відповідні матриці-доданки мають однаковий порядок.

Зауважимо, якщо матриці розбиті таким чином, що можна виконати дію подібно тому, як це зроблено при додаванні матриць А i B в (3.23), то таке розбиття має назву "відповідне".

б) Множення матриць.

Нехай А — матриця порядку m k; a B — матриця порядку k n. У такому разі існує добуток С = АВ (див. рис.3.1). Нехай матрицю А розбито на дві підматриці:

(3.25)

(3.24)

Д

(3.24)

ругу матрицю В розбито на дві підматриці , :

(3.25)

Добуток двох матриць є матриця ,

де має порядок m s; – s n;

m (k – s); – (k – s) n.

Нехай матриці А i B розбито відповідно на чотири підматриці:

Тоді відповідні підматриці мають розміри:

r s; – (m – r) s;

r (k – s); – (m – r) (k – s);

s p; – (k – s) p;

s (n – p); – (k – s) (n – p).

Добуток С = АВ складається з чотирьох підматриць C11, C12, C21, C22:

Розміри підматриць відповідно дорівнюють:

r p; – r (n p);

– (m r) p; – (m r) (n p).

Отже, при множенні блочних матриць має існувати відповідність між кількістю стовпців першої матриці А і кількістю рядків другої матриці В, тобто вони мають бути рівними.

Далі з блочними матрицями виконують операцію множення за тими самими правилами, що й зі звичайними матрицями.

Приклад 3.3. Знайти добуток С = АВ двох блочних матриць А i B:

Обчислюємо добуток С = АВ:

;

Запишемо блочну матрицю-добуток С = АВ:

(3.26)

О

(3.26)

тже, блочна матриця С = АВ має стільки рядків, скільки їх має блочна матриця А (m = 3), і стільки стовпців, скільки їх має блочна матриця В (n = 4).

Існує поняття прямого, або кронеккерового, добутку двох матриць. Якщо матриця А має порядок m n, а матриця В — розмір p q, то їх прямий добуток позначається і обчислюється так:

Порядок матриці є mp nq.

Приклад 3.4. Знайти прямий добуток , якщо:

А має порядок 2 3; В — порядок 2 2; — порядок 4 6.

Якщо матриці А та B квадратні й невироджені, а також мають один і той самий розмір, то справджується властивість: (на відміну від .

Для блочної матриці

існує таке правило транспонування:

;

множення блочної матриці на число виконується так:

Обернення блочних матриць (формула Фробеніуса).Детермінант блочної матриці

Нехай А — невироджена матриця, яка є блочною

Обернена до А матриця — також блочна, причому

, (3.27)

де ;

Вираз (3.27) відомий в літературі як формула Фробеніуса. Для оберненої матриці виконується рівність: , де Е — одинична підматриця.

Запам'ятайте такий вираз:

, (3.28)

де А i D — невироджені матриці відповідно розміру m n i n n; матриця В — порядку m n.

Детермінант (визначник) квадратної блочної матриці А визначається як

(3.29)

Нехай матриця А — невироджена і має блочно-діагональний вигляд:

, (3.30)

Визначник такої блочної матриці:

Визначник блочно-діагональних матриць:

(3.31)

і

. (3.32)

ЛІТЕРАТУРА

  1. Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980.

  2. Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1986.

  3. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12.

  4. Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое моделирование. –– М., 1975.

  5. Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975.

  6. Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964.

  7. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971.

  8. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962.

  9. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып. 1,2.

  10. Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975.

  11. Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в эконометрии. –– М., 1979.

  12. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964.

  13. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978.

  14. Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд.

  15. Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States, 1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.

Loading...

 
 

Цікаве