WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаЕкономіка (різне) → Економіко-математичне моделювання економічних об’єктів - Реферат

Економіко-математичне моделювання економічних об’єктів - Реферат


Реферат на тему:
Економіко-математичне моделювання економічних об'єктів
Нехай закон розподілу ймовірностей числа появи подій процесу в інтервалі задається формулою
а закон розподілу ймовірностей появи подій процесу в тому ж інтервалі формулою
Тоді, застосувавши формулу Байєса, можна отримати наступне співвідношення
Зробивши заміну
отримаємо формулу
.
З цієї формули випливає алгоритм моделювання траєкторії процесу і побудова за нею незміщених статистичних оцінок для початкового процесу .
Розглянемо випадковий процес в інтервалі . На першому кроці моделюється дискретна випадкова величина числа подій процесу згідно закону розподілу ймовірностей (таблиця 1):
Таблиця 1.
Закон розподілу ймовірностей


.
Припустимо, що в результаті моделювання прийняла значення .
На другому кроці, використовуючи властивість пуассонівського процесу про рівномірність розподілу в інтервалі моментів появи подій за умови, що вони туди попали, моделюємо ці моменти
згідно функції розподілу
.
Моменти появи подій - незалежні й однаково розподілені випадкові величини. В результаті моделювання отримуємо одну з траєкторій , і за нею знаходимо функціонал
Якщо обчислити статистичну оцінку
то вона буде зміщеною. Для того, щоб виправити її в напрямку незміщеності, необхідно на третьому кроці обчислити коефіцієнт :
.
В - й траєкторії коефіцієнт буде мати вигляд
де - значення випадкової величини в -й траєкторії . будемо називати - ї траєкторії.
В результаті таких міркувань остаточно отримаємо формулу для розрахунку незміщеної оцінки :
.
Розглянемо наступний приклад. Нехай на лінії працює п'ять пасажирських літаків. При виході літака з ладу він починає негайно ремонтуватися протягом випадкового часу згідно функції розподілу
.
Час безвідмовної роботи літака є випадковою величиною з функцією розподілу
.
Потрібно знайти ймовірність того, що за час експлуатації літаків в ремонті буде знаходитись одночасно хоча б три з них.
Вказана ймовірність є малою величиною, якщо середнє число відмов мале, а інтенсивність відновлення велика (швидке відновлення). За модель функціонування літаків візьмемо кусково-лінійний процес
,
де описує роботу -го літака
.
Дискретна компонента визначається співвідношенням
а неперервна компонента відповідає часу перебування процесу в справному стані згідно функції розподілу
і часу перебування в стані ремонту згідно функції розподілу
.
Позначимо через число відмов літаків в інтервалі . Тоді є пуассонівським процесом, моменти стрибків якого співпадають з моментами стрибків процесу "вверх". На рис. 1 зображені, відповідно, траєкторія процесу і траєкторія процесу , а вектор має вигляд:
.
Випадковий процес називається "вкладеним" пуассонівським процесом в процес , .
Інтенсивність появи випадкової події процесу задається , яка за умовою задачі є малою величиною. Згідно наведеного вище методу розглянемо допоміжний пуассонівський процес з інтенсивністю , і змоделюємо дискретну випадкову величину згідно закону розподілу ймовірностей (таблиця 2):
Таблиця 2.
Закон розподілу ймовірностей
0 1 2 ...
...
де
.
Припустимо, що в результаті експерименту прийняла значення 6. Це означає, що в інтервалі з'явилось рівно 6 відмов літаків.
На траєкторії процесу , будуємо траєкторію кусково-лінійного процесу таким чином, щоб процес був вкладеним пуассонівським процесом в процес . На рис. 2 і рис. 3 моментами
позначені моменти виникнення відмов літаків, а моментами
моменти закінчення їх ремонту. Моменти виникнення відмов літаків є незалежними випадковими величинами, рівномірно розподіленими в інтервалі
а моменти закінчення їх ремонту визначаються як значення випадкових величин з функціями розподілу .
Для їх обчислення необхідно спочатку визначити номери літаків, що відмовили в ці моменти. В момент може відмовити будь-який з п'яти літаків згідно закону розподілу імовірностей (таблиця 3):
Таблиця 3.
Закон розподілу ймовірностей
1 2 3 4 5
де
(за умовою задачі всі співпадають з ). Нехай прийняла значення 3. Це означає, що в момент вийшов з ладу третій літак, після чого він почав зразу ж ремонтуватись протягом часу , що дорівнює значенню випадкової величини з функцією розподілу
.
В наступний момент номер літака, який вийшов з ладу, визначається згідно закону розподілу ймовірностей (таблиця 4):
Таблиця 4.
Закон розподілу ймовірностей
1 2 3 4 5
де
( не фігурує в приведених імовірностях, оскільки в момент третій літак знаходився в ремонті). Нехай . Тоді тривалість ремонту першого літака реалізується за формулою
.
Аналогічно попередньому кроку, в момент згідно закону розподілу ймовірностей (таблиця 5):
Таблиця 5.
Закон розподілу ймовірностей
2 4 5
знаходиться номер літака, який вийшов з ладу, і тривалість його ремонту, і так далі протягом часу . В результаті отримаємо траєкторію і функціонал . Він дорівнює 1, оскільки виконується умова (див. рис. 3)
,
де - множина особливих станів, що включає всі вектори
,
для яких справедливе співвідношення
.
Для того, щоб отримати незміщену статистичну оцінку ймовірності події, заданої формулою , можна скористатися співвідношенням
,
де - функціонал , знайдений за -ю траєкторією , . Проте для ймовірності, що нас цікавить, і яка фігурує в умові задачі, ця оцінка буде завищеною. Незміщена оцінка для цього випадку визначається співвідношенням
(для отриманої траєкторії (див. рис. 3 ) знаходиться за формулою ).
Припустимо, що поряд з ймовірністю, що фігурує в умові задачі, необхідно знайти прибуток за перевозку пасажирів. Причому прибуток за одиницю часу, що припадає на один літак, дорівнює умовних одиниць. Тоді для траєкторії , (див. рис. 3) прибуток можна представити як суму прибутків на окремих інтервалах неперервності, а саме:
,
де
Якщо позначити прибуток, отриманий для - ї траєкторії , то незміщена оцінка для прибутку обчислюється за формулою
,
де , визначаються приведеним вище співвідношенням.
Список літератури
1. Кривуца В.Г., Довгий С.О., Олешко Т.І. Теорія імовірностей. - К.: ІМЗН, 1997.
2. Кривуца В.Г., Довгий С.О. Економіко-математичне моделювання. - К.: НАУ - с.200.
Loading...

 
 

Цікаве