WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаЕкономіка (різне) → Застосування диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки - Реферат

Застосування диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки - Реферат


Реферат на тему:
Застосування диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки
Диференціальні рівняння використовують у економічних моделях, що відображують зміну і взаємозв'язок економічних показників у часі.
1. Модель Еванса встановлення рівноважної ціни.
У цій моделі розглядають ринок одного товару, неперервно залежний від часу. Нехай Q(t), S(t), P(t) - відповідно попит, пропозиція і ціна цього товару у момент часу t. Будемо вважати, що і попит, і пропозиція лінійні функції від ціни, тобто Q(t) = a-bP(t), a,b>0 (із зростанням ціни попит спадає), S(t) =?-?P(f), ?,?>0 (із зростанням ціни пропозиція зростає), причому а>? (для нульової ціни попит перевищує пропозицію, тобто товар бажаний споживачу).
Головним припущенням є те, що збільшення ціни ?р прямо пропорційне перевищенню попиту над пропозицією за час ?t, тобто
де ?>0, або
Підставивши у це рівняння лінійні залежності попиту і пропозиції від ціни, одержимо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з початковою умовою:
Розв'язавши рівняння, маємо:
звідки
де
Точка > 0 є стаціонарною: , бо для P0Р* ціна, спадаючи, теж прямує до Р*. Сама ціна Р* є рівноважна ціна - для неї Q(P*) = S(P*). Рівноважну ціну можна також знайти графічно.
2. Модель росту (зростання для постійного темпу приросту).
Нехай Q = Q(t) - обсяг продукції деякої галузі (підприємства), виробленої за час t. Будемо вважати, що ринок ненасичений, тобто вся продукція буде реалізована, причому за деякою фіксованою ціною Р. Тоді на момент часу t галузь отримає дохід PQ(t). Нехай I = I(t) -величина чистих інвестицій, тобто засобів, направлених на розширення виробництва (чисті інвестиції - це різниця між загальним обсягом інвестицій і амортизаційними витратами).
Якщо т (0I(t)= m?p?Q(t). (8.1)
Для збільшення інтенсивності випуску продукції необхідно, щоб чисті інвестиції I = I(t) були більше нуля. У випадку І(і) = 0 загальні інвестиції лише покривають амортизаційні витрати і рівень випуску продукції залишається незмінним. Випадок I(t)0).
Припустимо, що ця залежність прямо пропорційна, тобто має місце так званий принцип акселерації:
Q'(t) = l?I(t) (l = const), (8.2)
де - норма акселерації.
Підстановкою у формулу (8.2) значення I з формули (8.1), одержимо:
Q'(t)=l?m?P?Q(t).
або
Q' = kQ, де k = lmP. (8.3)
Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Знайдемо його загальний розв'язок:
Якщо у початковий момент часу г0 обсяг продукції становить Q0, то
звідки
Отже, частинний розв'язок рівняння (8.3)
(8.4)
Рівняння (8.4) називають рівнянням росту. Цим рівнянням можна описати також динаміку зміни цін для постійного темпу інфляції, процеси радіоактивного розпаду, розмноження бактерій тощо.
3. Модель росту в умовах конкуренції.
Розглянемо більш загальний випадок. Нехай ціна Р = P(Q) - спадна функція тобто із збільшенням випуску продукції відбувається насичення ринку і ціна спадає. Тоді з формул (8.1), (8.2) одержимо рівняння:
Q'(t) = l?m?P(Q)-Q(t),
або
Q'=? Р(Q)?Q, де ? = lт. (8.5)
Оскільки всі множники у правій частині цього рівняння додатні, Q'>0, тобто функція Q зростає. Характер зростання функції Q(t) (опуклість) визначається знаком другої похідної:
де - еластичність попиту. Розглянемо два випадки:
I. Попит еластичний, тобто Тоді Q">0 і функція Q опукла вниз. Це означає прискорення зростання обсягу продукції.
II. Нееластичний попит Тоді Q"0, b>0,
рівняння (8.5) матиме вигляд:
Q' = ? (a-bQ)-Q. (8.6)
Розв'яжемо це рівняння:
(8.7)
Графік функції (8.7) називають логістичною кривою. Легко бачити, що Q'=0, коли Q = 0, або Q =a/b, і Q = a/2b- точка перегину:
Кривою такого типу можна описати також деякі моделі розповсюдження інформації (реклами), динаміку епідемій, процеси розмноження бактерій в обмеженому середовищі тощо.
4. Динамічна модель Кейнса.
Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає основні компоненти динаміки витрат та доходів економіки деякої країни. Нехай Y(t)- національний дохід, E(t) - державні витрати, S(t)- споживання, I(t)- інвестиції. Тоді можна скласти такі співвідношення:
де a(t) - коефіцієнт схильності до споживання (0<а(t)<і), b(t)-кінцеве споживання, k(t) - норма акселерації. Всі величини розглядаються як функції від часу t і додатні.
Перше рівняння системи означає, що сума всіх витрат повинна дорівнювати національному доходу. У другому рівнянні відображено, що загальне споживання складається з внутрішнього споживання деякої частини національного доходу та кінцевого споживання. І, нарешті, величина інвестицій не може бути довільною: вона визначається добутком норми акселерації на граничний національний дохід. Будемо вважати, що функції a(t), b(t), k(t), E(t) відомі. Необхідно знайти динаміку національного доходу (зміну доходу залежно від часу).
Підставимо вирази з другого та третього рівнянь системи у перше та зробимо елементарні перетворення. Одержимо лінійне рівняння першого порядку відносно функції Y(t):
У найпростішому випадку, коли функції a(t), b(t), k(t), E(t) є сталими величинами, маємо рівняння
(8.8)
За формулою (3.3) §4 знайдемо розв'язки:
(Частинний розв'язок було знайдено за умови Y' = 0, його називають рівноважним розв'язком). Інтегральні криві рівняння (8.8) мають вигляд:
Якщо у початковий момент часу Y00 і національний дохід зростає - інтегральні криві прямують вгору від рівноважної прямої.
5. Неокласична модель росту.
Нехай Y = F(K,L) - національний дохід, отриманий за рахунок капіталовкладень К і витрат праці L, F(K,L)- однорідна виробнича функція (F(tK,tL) = tF(K,L)). Цю умову, наприклад, задовольняє виробнича функція Кобба-Дугласа. Позначимо
де k = K/L- фондоозброєність. Як відомо, f'(k) > 0, f"(k) < 0. Припустимо, що:
1) відбувається природний приріст трудових ресурсів, тобто
L' = ?L (? = const). (8.9)
2) інвестиції спрямовані як на збільшення виробничих фондів, так і на амортизацію, тобто
І = К' + ?К
(? - норма амортизації).
Нехай I - норма інвестицій (тобто I=lY), тоді
lY = K' + ?K K' =lY-?K. (8.10)
З означення фондоозброєності маємо:
Ln k = lnK - lnL, тoмy (In k)' = (lnK - ln.L)',
отже
Підставивши у цю формулу значення L' і К' з (8.9) і (8.10), одержимо
Враховуючи, що , остаточно отримаємо рівняння:
(8.11)
яке називають рівнянням неокласичного росту. Стаціонарний розв'язок к* рівняння (8.11) знаходимо з початкової умови Криву називають стаціонарною кривою.
Нехай к - величина фондоозброєності, для якої досягається
Loading...

 
 

Цікаве